✨ feat(pyproject.toml)：添加sympy依赖用于数学计算
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@@ -136,3 +136,150 @@ s(-1105+1020i) = -2639-1228i
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s(-2639-1228i) = -1105+1020i
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(T. D. Noe, pers. comm.).
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以下为上文翻译。
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亲和数对 \((m, n)\)（亦称作亲和数）由两个整数 \(m, n\) 构成，其中一个数的真约数（即不包括该数本身的约数）之和等于另一个数。亲和数对有时也被称为友好数对（Hoffman 1998, p. 45），但这一名称应避免使用，因为通常所说的友好数对（friendly numbers）是由另一虽相关但不同的准则定义的。用符号表示，亲和数对满足
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\[
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s(m) = n, \quad s(n) = m,
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\]
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其中
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\[
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s(n) = \sigma(n) - n
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\]
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是约束除数函数（亦称作真约数和函数）。等价地，亲和数对 \((m, n)\) 满足
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\[
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\sigma(m) = \sigma(n) = s(m) + s(n) = m + n,
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\]
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这里 \(\sigma(n)\) 是除数函数。最小的亲和数对是 \((220, 284)\)，其因式分解为
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\[
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\begin{aligned}
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220 &= 11 \cdot 5 \cdot 2^2, \\
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284 &= 71 \cdot 2^2,
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\end{aligned}
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\]
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对应的约束除数函数值为
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\[
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\begin{aligned}
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s(220) &= \text{sum}\{1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110\} = 284, \\
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s(284) &= \text{sum}\{1, 2, 4, 71, 142\} = 220.
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\end{aligned}
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\]
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量
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\[
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\sigma(m) = \sigma(n) = s(m) + s(n),
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\]
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在此例中为 \(220 + 284 = 504\)，称为该数对的**对和**。最初的几个亲和数对是 \((220, 284)\), \((1184, 1210)\), \((2620, 2924)\), \((5020, 5564)\), \((6232, 6368)\), \((10744, 10856)\), \((12285, 14595)\), \((17296, 18416)\), \((63020, 76084)\), …（OEIS 序列 [A002025](http://oeis.org/A002025) 与 [A002046](http://oeis.org/A002046)）。D. Moews 维护着一份详尽的列表。
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1636 年，费马发现了数对 \((17296, 18416)\)；1638 年，笛卡尔发现了 \((9363584, 9437056)\)，不过这些结果实际上是阿拉伯数学家已知数字的重新发现。截至 1747 年，欧拉已发现了 30 对，后来他又将这个数字扩展到了 60 对。1866 年，16 岁的 B. Nicolò I. Paganini 发现了较小的亲和数对 \((1184, 1210)\)，这一对曾被他那些更著名的前辈们所遗漏（Paganini 1866-1867; Dickson 2005, p. 47）。到 1946 年，已知的亲和数对有 390 对（Escott 1946）。在 \(10^8\) 以下共有 236 对亲和数（Cohen 1970），在 \(10^{10}\) 以下有 1427 对（te Riele 1986），在 \(10^{11}\) 以下有 3340 对（Moews and Moews 1993ab），在 \(2.01 \times 10^{11}\) 以下有 4316 对（Moews and Moews 1996），在约 \(3.06 \times 10^{11}\) 以下有 5001 对（Moews and Moews 1996）。
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生成亲和数对的规则包括由费马和笛卡尔重新发现、并由欧拉推广的**塔比特·伊本·库拉规则**，以及由此延伸出的**欧拉规则**。Borho (1972) 发现了之前未被注意到的进一步推广。
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Pomerance (1981) 证明了对于足够大的 \(n\)，
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\[
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[\text{亲和数个数} \leq n] < n e^{-(\ln n)^{1/3}}
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（Guy 1994）。目前尚未证明存在非有限的亲和数下界。
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记一个亲和数对为 \((m, n)\)，且设 \(m < n\)。若 \((m, n) = (gM, gN)\)，其中 \(g = \gcd(m, n)\) 是最大公约数，且 \(\gcd(g, M) = \gcd(g, N) = 1\)，\(M\) 和 \(N\) 是无平方因子数，并且 \(M\) 与 \(N\) 的素因子个数分别为 \(i\) 和 \(j\)，则称 \((m, n)\) 为类型 \((i, j)\) 的**正则亲和数对**。非正则的数对称为**非正则的**或**奇异的**（te Riele 1986）。对于 \(j \geq 1\)，不存在类型为 \((1, j)\) 的正则对。若 \(m \equiv 0 \pmod{6}\) 且
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\[
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n = \sigma(m) - m
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\]
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为偶数，则 \((m, n)\) 不可能是一个亲和数对（Lee 1969）。te Riele (1986) 找到的 \(m/n\) 最小值和最大值分别为
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\[
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938304290 / 1344480478 = 0.697893577\ldots
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\]
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和
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\[
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4000783984 / 4001351168 = 0.9998582518\ldots。
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\]
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te Riele (1986) 还发现了 37 组具有相同对和的亲和数对。其中第一组是 \((609928, 686072)\) 和 \((643336, 652664)\)，它们的对和为
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\[
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\sigma(m) = \sigma(n) = m + n = 1296000。
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\]
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te Riele (1986) 未发现对和相同的 \(n > 2\) 的亲和数 \(n\) 元组。然而，Moews 和 Moews 在 1993 年发现了一个三元组，te Riele 在 1995 年发现了一个四元组。1997 年 11 月，发现了一个五元组和一个六元组。该六元组为 \((1953433861918, 2216492794082)\), \((1968039941816, 2201886714184)\), \((1981957651366, 2187969004634)\), \((1993501042130, 2176425613870)\), \((2046897812505, 2123028843495)\), \((2068113162038, 2101813493962)\)，它们全都具有对和 \(4169926656000\)。令人惊讶的是，这个六元组比任何已知的四元组或五元组都要小，并且很可能小于任何五元组。
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最早已知的奇数亲和数都能被 3 整除。这使 Bratley 和 McKay (1968) 猜想不存在与 6 互素的亲和数对（Guy 1994, p. 56）。然而，Battiato 和 Borho (1988) 找到了一个反例，现在已知许多亲和数对不能被 6 整除（Pedersen）。此类中已知的最小例子是亲和数对 \((42262694537514864075544955198125, 42405817271188606697466971841875)\)，其中每个数字都有 32 位。
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随后开始了寻找与 30 互素的亲和数对的工作。第一个例子由 Y. Kohmoto 于 1997 年发现，该数对中的每个数字都有 193 位（Pedersen）。Kohmoto 随后又发现了另外两个例子，te Riele 和 Pedersen 利用 Kohmoto 的两个例子，通过一种从类型 \((2,1)\) 数对生成类型 \((3,2)\) 数对的方法，计算出了 243 个与 30 互素的类型 \((3,2)\) 数对。
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目前尚未知与 \(2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210\) 互素的亲和数对。
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下表总结了近年来发现的最大已知亲和数对。其中最大的一对通过如下定义获得：
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\[
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\begin{aligned}
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a &= 2 \cdot 5 \cdot 11, \\
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S &= 37 \cdot 173 \cdot 409 \cdot 461 \cdot 2136109 \cdot 2578171801921099 \cdot 68340174428454377539, \\
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p &= 925616938247297545037380170207625962997960453645121, \\
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q &= 210958430218054117679018601985059107680988707437025081922673599999, \\
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q_1 &= (p + q)p^{235} - 1, \\
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q_2 &= (p - S)p^{235} - 1,
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\end{aligned}
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\]
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则 \(p, q, q_1, q_2\) 均为素数，且数字
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\[
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\begin{aligned}
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n_1 &= a S p^{235} q_1, \\
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n_2 &= a q p^{235} q_2
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\end{aligned}
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\]
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构成一个亲和数对，其中每个成员具有 24073 位十进制数字（Jobling 2005）。
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| 位数 | 日期 | 参考文献 |
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|-------|--------------|-------------------------|
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| 4829 | 1997年10月4日 | M. García |
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| 8684 | 2003年6月6日 | Jobling and Walker 2003 |
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| 16563 | 2004年5月12日 | Walker et al. 2004 |
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| 17326 | 2004年5月12日 | Walker et al. 2004 |
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| 24073 | 2005年3月10日 | Jobling 2005 |
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高斯整数中也存在亲和数对，例如
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\[
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\begin{aligned}
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s(8008 + 3960i) &= 4232 - 8280i, \\
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s(4232 - 8280i) &= 8008 + 3960i,
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\end{aligned}
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\]
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以及
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\[
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\begin{aligned}
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s(-1105 + 1020i) &= -2639 - 1228i, \\
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s(-2639 - 1228i) &= -1105 + 1020i
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\end{aligned}
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\]
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（T. D. Noe，个人通讯）。
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Reference in New Issue
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