docs(0053.Combinatoric): 添加组合数单峰对称性与四种高效算法推导

solutions/0053.Combinatoric/euler_53_math.py

@@ -0,0 +1,43 @@
+import time
+
+
+def timer(func):
+    def wrapper(*args, **kwargs):
+        start_time = time.time()
+        result = func(*args, **kwargs)
+        end_time = time.time()
+        elapsed_time = end_time - start_time
+        print(f"{func.__name__} time: {elapsed_time:.6f} seconds")
+        return result
+
+    return wrapper
+
+
+@timer
+def count_combinations_above_million(limit_n=100, threshold=1_000_000):
+    """
+    对于 1 ≤ n ≤ limit_n，统计组合数 C(n, r) 大于 threshold 的个数。
+    利用递推 C(n, r) = C(n, r-1) * (n - r + 1) / r 以及对称性 C(n, r) = C(n, n-r)。
+    """
+    count = 0
+
+    for n in range(1, limit_n + 1):
+        comb = 1  # C(n, 0)
+        # 只需检查 r 从 1 到 n//2
+        for r in range(1, n // 2 + 1):
+            # 递推更新组合数
+            comb = comb * (n - r + 1) // r
+
+            if comb > threshold:
+                # 一旦找到最小的 r 使得 C(n, r) > threshold，
+                # 则 r 到 n-r 之间的所有值都满足条件。
+                # 符合条件的个数 = (n - r) - r + 1 = n - 2*r + 1
+                count += n - 2 * r + 1
+                break  # 该 n 的剩余情况不必再检查
+
+    return count
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    result = count_combinations_above_million()
+    print(result)