docs(0053.Combinatoric): 添加组合数单峰对称性与四种高效算法推导

solutions/0053.Combinatoric/README.md

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+# 组合数的思考
+
+我最惊讶的地方在于，直接计算比重新整理计算公式更快。这是不是因为搜索空间不大，所以才如此？
+
+那么另一个角度来说，是不是基于数学原理来直接确认数量是更快的方式？显然，是这样的。
+
+简单来说，组合数 $\displaystyle\binom{n}{r}$ 相对于 $r$ 具有单峰对称性，
+所以只有找到最小的 $r^*$ 就可以快速得到具体数量了，同时根据单峰对称性，计算量也能有大幅减少，
+至少不用计算大数的连乘。
+
+## 核心数学观察
+
+对于固定的 $n$，组合数 $\displaystyle\binom{n}{r}$ 关于 $r$ 具有**单峰对称性**：
+
+$$\binom{n}{0} < \binom{n}{1} < \cdots < \binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} = \binom{n}{\lceil n/2\rceil} > \cdots > \binom{n}{n}$$
+
+因此，只要找到**最小的** $r^*$ 使得 $\displaystyle\binom{n}{r^*} > 10^6$，则该 $n$ 下所有满足条件的 $r$ 构成连续区间：
+
+$$r^* \le r \le n - r^*$$
+
+满足条件的个数为：
+
+$$\boxed{n - 2r^* + 1}$$
+
+这已经把问题从"枚举所有 $r$"转化为"对每个 $n$ 找临界点 $r^*$"。
+
+---
+
+## 方法一：递推截断法（最实用）
+
+利用递推关系，从 $r=0$ 开始逐项计算，一旦超过 $10^6$ 立即停止：
+
+$$\binom{n}{r} = \binom{n}{r-1} \cdot \frac{n-r+1}{r}$$
+
+**优点**：
+- 不需要计算阶乘
+- 不需要处理大整数（因为中途就停了）
+- 不需要计算对称右侧的所有值
+
+例如 $n=100$ 时，只需算到 $r=4$ 就发现 $\binom{100}{4}=3{,}921{,}225 > 10^6$，立刻得知该 $n$ 下有 $100-2\times4+1=93$ 个满足条件的 $r$。
+
+---
+
+## 方法二：固定 $r$，反向求阈值 $N_r$
+
+这是一个更"数学化"的思路。对于每个固定的 $r$，由于 $\displaystyle\binom{n}{r}$ 关于 $n$ 严格递增，存在唯一的最小整数 $N_r$ 使得：
+
+$$\binom{N_r}{r} > 10^6 \quad\text{且}\quad \binom{N_r-1}{r} \le 10^6$$
+
+计算得到（只需对 $r=1$ 到 $50$ 各跑一个递增序列）：
+
+| $r$ | $N_r$（最小 $n$） |
+|:---:|:---:|
+| 4 | 72 |
+| 5 | 44 |
+| 6 | 33 |
+| 7 | 28 |
+| 8 | 25 |
+| 9 | 24 |
+| 10 | 23 |
+| 11 | 23 |
+| 12 | 23 |
+| 13 | 23 |
+| 14 | 24 |
+| ... | ... |
+
+**关键推论**：对于给定的 $n$，临界点恰好是
+
+$$r^*(n) = \min\{r \mid N_r \le n\}$$
+
+即：**找到第一个阈值不超过 $n$ 的 $r$**。
+
+例如：
+- $n=25$：$N_8=25 \le 25$，而 $N_7=28 > 25$，故 $r^*=8$，个数为 $25-16+1=10$
+- $n=72$：$N_4=72 \le 72$，而 $N_3=183 > 72$，故 $r^*=4$，个数为 $72-8+1=65$
+
+然后对 $n=23$ 到 $100$ 求和 $\sum(n-2r^*+1)$ 即得 **4075**。
+
+这种方法把"对每个 $(n,r)$ 算组合数"变成了"对每个 $r$ 找一次阈值"，计算量从 $O(n^2)$ 降到约 $O(n \cdot r_{\max})$，且每个序列找到阈值即停。
+
+---
+
+## 方法三：对数法（避免所有大整数）
+
+预先计算 $\ln(k)$ 的前缀和，则：
+
+$$\ln\binom{n}{r} = \sum_{i=1}^{n}\ln i - \sum_{i=1}^{r}\ln i - \sum_{i=1}^{n-r}\ln i$$
+
+只需判断该值是否大于 $\ln(10^6) \approx 13.8155$。全程只涉及 double 类型的加减，**完全不出现大整数**。
+
+---
+
+## 方法四：多项式求根（针对小 $r$）
+
+对于固定的 $r \le 4$，$\displaystyle\binom{n}{r}$ 是关于 $n$ 的低次多项式，可以直接解方程：
+
+- $r=1$: $n = 10^6$（超出范围）
+- $r=2$: $n(n-1) = 2\times 10^6$，解得 $n \approx 1414$（超出范围）
+- $r=3$: $n(n-1)(n-2) = 6\times 10^6$，解得 $n \approx 182$（超出范围）
+- $r=4$: $n(n-1)(n-2)(n-3) = 24\times 10^6$，正实根约为 $71.5$，故 $N_4=72$
+
+对于 $r \ge 5$，虽然是高次方程无解析解，但可以用牛顿迭代等数值方法快速求根，从而确定 $N_r$。
+
+---
+
+## 总结
+
+| 方法 | 是否避免大整数 | 是否减少计算次数 | 核心数学工具 |
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| 递推截断 | ✅ | ✅ | 单调性 + 递推公式 |
+| 阈值法 ($N_r$) | ✅ | ✅ | 单调性 + 固定 $r$ 求根 |
+| 对数法 | ✅ | ⚠️（仍需逐对判断） | $\ln$ 前缀和 |
+| 多项式求根 | ✅ | ✅ | 代数方程 / 数值分析 |
+
+**不存在一个封闭公式能直接写出答案 4075 而完全不做任何数值运算**——因为问题的本质是离散的不等式判断。但利用组合数的单调性和对称性，可以把计算量压缩到极小，且全程避开巨大整数的运算。

solutions/0053.Combinatoric/euler_53_math.py

@@ -0,0 +1,43 @@
+import time
+
+
+def timer(func):
+    def wrapper(*args, **kwargs):
+        start_time = time.time()
+        result = func(*args, **kwargs)
+        end_time = time.time()
+        elapsed_time = end_time - start_time
+        print(f"{func.__name__} time: {elapsed_time:.6f} seconds")
+        return result
+
+    return wrapper
+
+
+@timer
+def count_combinations_above_million(limit_n=100, threshold=1_000_000):
+    """
+    对于 1 ≤ n ≤ limit_n，统计组合数 C(n, r) 大于 threshold 的个数。
+    利用递推 C(n, r) = C(n, r-1) * (n - r + 1) / r 以及对称性 C(n, r) = C(n, n-r)。
+    """
+    count = 0
+
+    for n in range(1, limit_n + 1):
+        comb = 1  # C(n, 0)
+        # 只需检查 r 从 1 到 n//2
+        for r in range(1, n // 2 + 1):
+            # 递推更新组合数
+            comb = comb * (n - r + 1) // r
+
+            if comb > threshold:
+                # 一旦找到最小的 r 使得 C(n, r) > threshold，
+                # 则 r 到 n-r 之间的所有值都满足条件。
+                # 符合条件的个数 = (n - r) - r + 1 = n - 2*r + 1
+                count += n - 2 * r + 1
+                break  # 该 n 的剩余情况不必再检查
+
+    return count
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    result = count_combinations_above_million()
+    print(result)