fix: 统一文件编码为 utf-8 并将 benchmark 日志改为英文
This commit is contained in:
169
solutions/0066.DiophantineEq/README.md
Normal file
169
solutions/0066.DiophantineEq/README.md
Normal file
@@ -0,0 +1,169 @@
|
||||
# 佩尔方程（Pell's Equation）—— 基本解的完整数学理论
|
||||
|
||||
## 一、方程定义与历史背景
|
||||
|
||||
**佩尔方程**是指一类特殊的二元二次不定方程：
|
||||
|
||||
$$x^2 - Dy^2 = 1$$
|
||||
|
||||
其中 $D$ 是一个**非平方正整数**（若 $D$ 为完全平方数，则方程退化为 $(x - y\sqrt{D})(x + y\sqrt{D}) = 1$，仅有平凡整数解）。
|
||||
|
||||
### 历史脉络
|
||||
- **公元前400年左右**：古希腊数学家就已研究 $x^2 - 2y^2 = 1$，发现解 $(3,2), (17,12), (99,70), \ldots$
|
||||
- **Brahmagupta（628年）**：印度数学家系统研究了"Varga-prakriti"方程，提出"bhāvanā"合成法则，本质上发现了 $(x_1 + y_1\sqrt{D})^n$ 的通解结构
|
||||
- **Bhaskara II（1150年）**：在《Līlāvatī》中给出求解 $x^2 - 61y^2 = 1$ 的算法（循环法 cakravāla），得到基本解 $(1766319049, 226153980)$
|
||||
- **Fermat（1657年）**：向欧洲数学界挑战求解此方程，Euler 误将解法归功于 Pell，由此得名
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## 二、基本理论：解的存在性与结构
|
||||
|
||||
### 定理 1（Lagrange, 1768）：解的存在性
|
||||
对任意非平方正整数 $D$，方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ **总有无穷多组正整数解**。
|
||||
|
||||
### 定义：基本解（最小解）
|
||||
所有正整数解中使 $x + y\sqrt{D}$ 最小的那组解 $(x_1, y_1)$ 称为**基本解**（或**最小解**、**本源解**）。它是生成全部解的"种子"。
|
||||
|
||||
### 定理 2：通解结构
|
||||
若 $(x_1, y_1)$ 是基本解，则**所有**正整数解 $(x_n, y_n)$ 满足：
|
||||
|
||||
$$x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$$
|
||||
|
||||
等价地，解可通过递推得到：
|
||||
$$\begin{cases} x_{n+1} = x_1 x_n + D y_1 y_n \\ y_{n+1} = y_1 x_n + x_1 y_n \end{cases}$$
|
||||
|
||||
或写成矩阵形式：
|
||||
$$\begin{pmatrix} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 & Dy_1 \\ y_1 & x_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## 三、核心算法：连分数法
|
||||
|
||||
求解基本解的标准方法是**连分数展开** $\sqrt{D}$。
|
||||
|
||||
### 3.1 $\sqrt{D}$ 的连分数展开
|
||||
|
||||
对非平方正整数 $D$，$\sqrt{D}$ 有**周期性连分数展开**：
|
||||
|
||||
$$\sqrt{D} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \ldots, a_L}]$$
|
||||
|
||||
其中 $a_0 = \lfloor\sqrt{D}\rfloor$，$(a_1, a_2, \ldots, a_L)$ 是纯循环部分，$L$ 为周期长度。
|
||||
|
||||
### 3.2 计算递推关系
|
||||
|
||||
展开算法的核心递推（计算周期中各项）：
|
||||
$$\begin{aligned}
|
||||
m_0 &= 0, \quad d_0 = 1, \quad a_0 = \lfloor\sqrt{D}\rfloor \\
|
||||
m_{k+1} &= d_k \cdot a_k - m_k \\
|
||||
d_{k+1} &= \frac{D - m_{k+1}^2}{d_k} \\
|
||||
a_{k+1} &= \left\lfloor \frac{a_0 + m_{k+1}}{d_{k+1}} \right\rfloor
|
||||
\end{aligned}$$
|
||||
|
||||
当 $(m_k, d_k, a_k)$ 首次重复时，即得到一个完整周期。
|
||||
|
||||
### 3.3 渐近分数（Convergents）
|
||||
|
||||
记第 $n$ 个渐近分数为 $\frac{p_n}{q_n}$，递推公式：
|
||||
$$\begin{cases}
|
||||
p_{-1} = 1, & p_0 = a_0, \quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2} \\[4pt]
|
||||
q_{-1} = 0, & q_0 = 1, \quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}
|
||||
\end{cases}$$
|
||||
|
||||
### 3.4 关键定理（Lagrange）
|
||||
|
||||
> **周期 $L$ 为偶数**：基本解 $(x_1, y_1) = (p_{L-1}, q_{L-1})$，即第 $(L-1)$ 个渐近分数满足 $p_{L-1}^2 - D q_{L-1}^2 = 1$
|
||||
>
|
||||
> **周期 $L$ 为奇数**：基本解 $(x_1, y_1) = (p_{2L-1}, q_{2L-1})$，需要走到第 $(2L-1)$ 个渐近分数
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## 四、经典算例
|
||||
|
||||
### 例 1：$D = 2$
|
||||
|
||||
$$\sqrt{2} = [1; \overline{2}], \quad L = 1 \text{（奇数）}$$
|
||||
|
||||
渐近分数序列：
|
||||
$$\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \ldots$$
|
||||
|
||||
检验：$3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1$ ✓
|
||||
|
||||
**基本解：$(x_1, y_1) = (3, 2)$**
|
||||
|
||||
通解：$(3 + 2\sqrt{2})^n = x_n + y_n\sqrt{2}$，前几项：
|
||||
- $n=2$: $(17, 12)$，$17^2 - 2 \cdot 12^2 = 289 - 288 = 1$
|
||||
- $n=3$: $(99, 70)$，$99^2 - 2 \cdot 70^2 = 9801 - 9800 = 1$
|
||||
- $n=4$: $(577, 408)$
|
||||
|
||||
### 例 2：$D = 13$
|
||||
|
||||
$$\sqrt{13} = [3; \overline{1, 1, 1, 1, 6}], \quad L = 5 \text{（奇数）}$$
|
||||
|
||||
需要计算到第 $2L - 1 = 9$ 个渐近分数：
|
||||
|
||||
$$\frac{p_9}{q_9} = \frac{649}{180}$$
|
||||
|
||||
验证：$649^2 - 13 \cdot 180^2 = 421201 - 421200 = 1$ ✓
|
||||
|
||||
**基本解：$(649, 180)$**
|
||||
|
||||
### 例 3：$D = 61$（历史上最著名的难题）
|
||||
|
||||
$$\sqrt{61} = [7; \overline{1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14}], \quad L = 11 \text{（奇数）}$$
|
||||
|
||||
周期长达 11，需走到第 $2 \times 11 - 1 = 21$ 个渐近分数：
|
||||
|
||||
**基本解：$(1766319049, 226153980)$**
|
||||
|
||||
验证：$1766319049^2 - 61 \times 226153980^2 = 1$ ✓
|
||||
|
||||
这正是 Bhaskara II 在 12 世纪手工计算出的惊人结果。
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## 五、负佩尔方程：$x^2 - Dy^2 = -1$
|
||||
|
||||
### 定理 3：可解性判据
|
||||
方程 $x^2 - Dy^2 = -1$ 有整数解**当且仅当** $\sqrt{D}$ 的连分数周期 $L$ 为**奇数**。
|
||||
|
||||
### 定理 4：基本解位置
|
||||
当 $L$ 为奇数时，$x^2 - Dy^2 = -1$ 的基本解由第 $(L-1)$ 个渐近分数给出；而 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的基本解则由第 $(2L-1)$ 个渐近分数给出。
|
||||
|
||||
### 例：$D = 5$
|
||||
|
||||
$$\sqrt{5} = [2; \overline{4}], \quad L = 1 \text{（奇数）}$$
|
||||
|
||||
- $x^2 - 5y^2 = -1$ 的基本解：$(p_0, q_0) = (2, 1)$，$2^2 - 5 \cdot 1^2 = 4 - 5 = -1$ ✓
|
||||
- $x^2 - 5y^2 = 1$ 的基本解：$(p_1, q_1) = (9, 4)$，$9^2 - 5 \cdot 4^2 = 81 - 80 = 1$ ✓
|
||||
|
||||
对比 $D = 3$（$L = 2$ 偶数）：$x^2 - 3y^2 = -1$ **无解**。
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## 六、数值验证汇总
|
||||
|
||||
| $D$ | 周期 $L$ | 周期奇偶 | $x^2 - Dy^2 = 1$ 基本解 | $x^2 - Dy^2 = -1$ |
|
||||
|:---:|:---:|:---:|:---|:---|
|
||||
| 2 | 1 | 奇 | $(3, 2)$ | $(1, 1)$ ✓ |
|
||||
| 3 | 2 | 偶 | $(2, 1)$ | 无解 |
|
||||
| 5 | 1 | 奇 | $(9, 4)$ | $(2, 1)$ ✓ |
|
||||
| 6 | 2 | 偶 | $(5, 2)$ | 无解 |
|
||||
| 7 | 4 | 偶 | $(8, 3)$ | 无解 |
|
||||
| 10 | 1 | 奇 | $(19, 6)$ | $(3, 1)$ ✓ |
|
||||
| 13 | 5 | 奇 | $(649, 180)$ | $(18, 5)$ ✓ |
|
||||
| 29 | 5 | 奇 | $(9801, 1820)$ | $(70, 13)$ ✓ |
|
||||
| 61 | 11 | 奇 | $(1766319049, 226153980)$ | $(29718, 3805)$ ✓ |
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## 七、算法复杂度与注意事项
|
||||
|
||||
1. **基本解的大小**：$(x_1, y_1)$ 可以**极其巨大**。例如 $D = 991$ 时，$x_1 \approx 3.7 \times 10^{47}$，$y_1 \approx 1.2 \times 10^{46}$。基本解的位数关于 $D$ 可以是指数级增长。
|
||||
|
||||
2. **计算精度**：实现时必须使用任意精度整数运算（如 Python 的 `int` 类型），标准 64 位整数远不够。
|
||||
|
||||
3. **与代数数论的联系**：佩尔方程的解群 $\{(x, y) : x^2 - Dy^2 = 1\}$ 同构于实二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 中整数环的单位群，基本解对应**基本单位元**（Fundamental Unit）。
|
||||
|
||||
4. **广义佩尔方程**：$x^2 - Dy^2 = N$（$N \neq \pm 1$）的求解可通过先求 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的基本解，再结合特解得到所有解。
|
||||
|
||||
5. **递推时的细节**：需要注意的一点是，n为偶数时，基本解为 $p_{2n-1}, q_{2n-1}$ ，计算时需要重复a序列，需要重复的是 $a_1$ 开始的a序列，那么 $2n-1$ 项就只需要重复到 $2 a_0$ 的前一项。
|
||||
Reference in New Issue
Block a user