44题解法说明

solutions/0044.PentagonNums/readme.md

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+要找到一对五边形数 $P_j$ 和 $P_k$，使得它们的和与差都是五边形数，且差 $D = |P_j - P_k|$ 最小，可以采用以下数学方法：
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+设 $P(n) = \frac{n(3n-1)}{2}$。我们需要找到正整数 $a > b$ 和 $c, d$，满足：
+$P(a) - P(b) = P(d), \quad P(a) + P(b) = P(c).$
+由此可得：
+$P(a) = \frac{P(c) + P(d)}{2}, \quad P(b) = \frac{P(c) - P(d)}{2}.$
+令 $u = a - b$，$v = a + b$，则原方程化为：
+$u(3v - 1) = d(3d - 1) \tag{A}$
+$3(v^2 + u^2) - 2v = 2c(3c - 1) \tag{B}$
+为了最小化 $D = P(d)$，从 $d = 1$ 开始递增，对每个 $d$ 计算 $M = d(3d - 1)$。将 $M$ 分解为两个正整数因子 $u$ 和 $w$，使得 $w = 3v - 1$，因此 $w \equiv 2 \pmod{3}$。令 $v = \frac{w+1}{3}$，检查 $u$ 和 $v$ 是否同奇偶（以确保 $a = \frac{v+u}{2}$ 和 $b = \frac{v-u}{2}$ 为整数）。然后计算 $a$ 和 $b$，并验证 $P(a) + P(b)$ 是否为五边形数，即判别式 $\Delta = 1 + 24(P(a) + P(b))$ 是否为完全平方数，且 $\sqrt{\Delta} \equiv 5 \pmod{6}$。
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+按此方法搜索，当 $d = 1912$ 时，得到 $P(d) = 5482660$，且存在 $a = 2167$，$b = 1020$，满足条件：
+$P(2167) = 7042750, \quad P(1020) = 1560090,$
+$P(2167) - P(1020) = 5482660 = P(1912),$
+$P(2167) + P(1020) = 8602840 = P(2395).$
+因此，最小的 $D$ 值为 $5482660$。