✨ feat(0046.GoldbachsConjecture)：添加欧拉项目第46题解决方案

📝 docs(0046.GoldbachsConjecture)：添加问题描述和解题思路说明

solutions/0044.PentagonNums/euler_44.py

@@ -0,0 +1,105 @@
+"""
+Pentagonal numbers are generated by the formula, P(n) = n(3n - 1)/2.
+The first ten pentagonal numbers are:
+    1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...
+
+It can be seen that P(4) + P(7) = 22 + 70 = 92 = P(8).
+However, their difference, 70 - 22 = 48 , is not pentagonal.
+
+Find the pair of pentagonal numbers, P_j and P_k,
+for which their sum and difference are pentagonal and D = |P_j - P_k| is minimised; what is the value of D ?
+"""
+
+import time
+
+
+def timer(func):
+    def wrapper(*args, **kwargs):
+        start_time = time.time()
+        result = func(*args, **kwargs)
+        end_time = time.time()
+        print(f"{func.__name__} taken: {end_time - start_time:.6f} seconds")
+        return result
+
+    return wrapper
+
+
+def pentagonal(n):
+    return n * (3 * n - 1) // 2
+
+
+def is_pentagonal(x):
+    """检查一个数是否为五边形数"""
+    # 解方程 n(3n-1)/2 = x => 3n² - n - 2x = 0
+    # 判别式 Δ = 1 + 24x 必须是完全平方数
+    delta = 1 + 24 * x
+    sqrt_delta = int(delta**0.5)
+    if sqrt_delta * sqrt_delta != delta:
+        return False
+    # 并且 (1 + sqrt(Δ)) ≡ 0 mod 6
+    return (1 + sqrt_delta) % 6 == 0
+
+
+@timer
+def main() -> None:
+    n = 1
+    is_quit = False
+    while not is_quit:
+        D = pentagonal(n)
+        M = n * (3 * n - 1)
+
+        # 寻找M的所有因子对(u, w)
+        # 其中u = a-b, w = 3v-1, v = a+b
+        limit = int(M**0.5)
+
+        for u in range(1, limit + 1):
+            if M % u != 0:
+                continue
+
+            w = M // u
+
+            # 检查w ≡ 2 mod 3
+            if w % 3 != 2:
+                continue
+
+            # 计算v = (w + 1) / 3
+            v = (w + 1) // 3
+
+            # 检查u和v是否同奇偶
+            if (u % 2) != (v % 2):
+                continue
+
+            # 计算a和b
+            a = (v + u) // 2
+            b = (v - u) // 2
+
+            # 检查a和b是否为正整数
+            if b <= 0 or a <= b:
+                continue
+
+            # 计算P(a)和P(b)
+            Pa = pentagonal(a)
+            Pb = pentagonal(b)
+
+            # 验证Pa - Pb = P(d)
+            if Pa - Pb != D:
+                continue
+
+            # 验证Pa + Pb是否为五边形数
+            if is_pentagonal(Pa + Pb):
+                print("Answer:")
+                print(f"  a = {a}, b = {b}")
+                print(f"  P(a) = {Pa}, P(b) = {Pb}")
+                print(f"  P(a) - P(b) = {D} = P({n})")
+                print(f"  P(a) + P(b) = {Pa + Pb}")
+                print(
+                    f"  Verify that P(a) + P(b) is a pentagonal number: {is_pentagonal(Pa + Pb)}"
+                )
+                print(f"D = {D}")
+                is_quit = True
+
+        n += 1
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()

solutions/0044.PentagonNums/readme.md

@@ -0,0 +1,16 @@
+要找到一对五边形数 $P_j$ 和 $P_k$，使得它们的和与差都是五边形数，且差 $D = |P_j - P_k|$ 最小，可以采用以下数学方法：
+
+设 $P(n) = \frac{n(3n-1)}{2}$。我们需要找到正整数 $a > b$ 和 $c, d$，满足：
+$P(a) - P(b) = P(d), \quad P(a) + P(b) = P(c).$
+由此可得：
+$P(a) = \frac{P(c) + P(d)}{2}, \quad P(b) = \frac{P(c) - P(d)}{2}.$
+令 $u = a - b$，$v = a + b$，则原方程化为：
+$u(3v - 1) = d(3d - 1) \tag{A}$
+$3(v^2 + u^2) - 2v = 2c(3c - 1) \tag{B}$
+为了最小化 $D = P(d)$，从 $d = 1$ 开始递增，对每个 $d$ 计算 $M = d(3d - 1)$。将 $M$ 分解为两个正整数因子 $u$ 和 $w$，使得 $w = 3v - 1$，因此 $w \equiv 2 \pmod{3}$。令 $v = \frac{w+1}{3}$，检查 $u$ 和 $v$ 是否同奇偶（以确保 $a = \frac{v+u}{2}$ 和 $b = \frac{v-u}{2}$ 为整数）。然后计算 $a$ 和 $b$，并验证 $P(a) + P(b)$ 是否为五边形数，即判别式 $\Delta = 1 + 24(P(a) + P(b))$ 是否为完全平方数，且 $\sqrt{\Delta} \equiv 5 \pmod{6}$。
+
+按此方法搜索，当 $d = 1912$ 时，得到 $P(d) = 5482660$，且存在 $a = 2167$，$b = 1020$，满足条件：
+$P(2167) = 7042750, \quad P(1020) = 1560090,$
+$P(2167) - P(1020) = 5482660 = P(1912),$
+$P(2167) + P(1020) = 8602840 = P(2395).$
+因此，最小的 $D$ 值为 $5482660$。

solutions/0045.TrianPentaHexa/euler_45.py

@@ -0,0 +1,86 @@
+"""
+Triangle, pentagonal, and hexagonal numbers are generated by the following formulae:
+    Triangle: T_n = n(n+1)/2
+    Pentagonal: P_n = n(3n-1)/2
+    Hexagonal: H_n = n(2n-1)
+
+It can be verified that T_285 = P_165 = H_143 = 40755.
+
+Find the next triangle number that is also pentagonal and hexagonal.
+"""
+
+import time
+
+
+def timer(func):
+    def wrapper(*args, **kwargs):
+        start_time = time.time()
+        result = func(*args, **kwargs)
+        end_time = time.time()
+        print(f"{func.__name__} taken: {end_time - start_time:.6f} seconds")
+        return result
+
+    return wrapper
+
+
+def is_pentagonal(x):
+    """检查一个数是否为五边形数"""
+    # 解方程 n(3n-1)/2 = x => 3n² - n - 2x = 0
+    # 判别式 Δ = 1 + 24x 必须是完全平方数
+    delta = 1 + 24 * x
+    sqrt_delta = int(delta**0.5)
+    if sqrt_delta * sqrt_delta != delta:
+        return False
+    # 并且 (1 + sqrt(Δ)) ≡ 0 mod 6
+    return (1 + sqrt_delta) % 6 == 0
+
+
+def is_hexagonal(x):
+    """检查一个数是否为六边形数"""
+    # 解方程 n(2n-1) = x => 2n² - n - x = 0
+    # 判别式 Δ = 1 + 8x 必须是完全平方数
+    delta = 1 + 8 * x
+    sqrt_delta = int(delta**0.5)
+    if sqrt_delta * sqrt_delta != delta:
+        return False
+    # 并且 (1 + sqrt(Δ)) ≡ 0 mod 4
+    return (1 + sqrt_delta) % 4 == 0
+
+
+@timer
+def main() -> None:
+    n = 286
+    while True:
+        triangle = n * (n + 1) // 2
+
+        # 直接使用已有的验证函数，避免重复计算
+        if is_pentagonal(triangle) and is_hexagonal(triangle):
+            # 找到后计算对应的索引
+            pent_index = (1 + int((1 + 24 * triangle) ** 0.5)) // 6
+            hex_index = (1 + int((1 + 8 * triangle) ** 0.5)) // 4
+            print(f"Answer: T({n})=P({pent_index})=H({hex_index})={triangle}")
+            break
+
+        n += 1
+
+
+@timer
+def main_quick_math(nth: int = 2) -> None:
+    u = 5
+    v = 3
+    sn = 0
+    while True:
+        u, v = (2 * u + 3 * v), (u + 2 * v)
+        if u % 6 == 5 and v % 4 == 3:
+            k = (u + 1) // 6
+            j = (v + 1) // 4
+            n = 2 * j - 1
+            sn += 1
+            if sn == nth:
+                print(f"Answer: T({n})=P({k})=H({j})={n * (n + 1) // 2}")
+                break
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()
+    main_quick_math()

solutions/0045.TrianPentaHexa/readme.md

@@ -0,0 +1,501 @@
+三角形数、五边形数和六边形数之间有一个重要关系：**每一个六边形数都是三角形数**。具体来说，六边形数 \(H_n = n(2n-1)\) 等于三角形数 \(T_{2n-1} = (2n-1)(2n)/2 = n(2n-1)\)。因此，问题转化为寻找**同时是五边形数和六边形数**的数（这样的数自动是三角形数）。
+
+已知 \(T_{285} = P_{165} = H_{143} = 40755\)，需要找到下一个这样的数。利用五边形数和六边形数的公式，设 \(P_k = H_j\)，得到方程：
+\[
+k(3k-1)/2 = j(2j-1)
+\]
+两边乘以2并整理得：
+\[
+3k^2 - k = 4j^2 - 2j
+\]
+通过配方，引入变量 \(u = 6k - 1\) 和 \(v = 4j - 1\)，可将其转化为佩尔方程：
+\[
+u^2 - 3v^2 = -2
+\]
+其中 \(u \equiv 5 \pmod{6}\)，\(v \equiv 3 \pmod{4}\) 以保证 \(k\) 和 \(j\) 为整数。
+
+该方程的解可通过迭代生成：若 \((u, v)\) 是一组解，则下一组解为 \((u', v') = (2u + 3v, u + 2v)\)。从已知解 \((u, v) = (989, 571)\)（对应 40755）开始，迭代并检查同余条件，得到下一组满足条件的解为 \((191861, 110771)\)。
+
+由此计算出：
+- \(k = (u + 1)/6 = 31977\)
+- \(j = (v + 1)/4 = 27693\)
+对应的数为：
+\[
+x = P_k = \frac{k(3k-1)}{2} = \frac{31977 \times 95930}{2} = 1533776805
+\]
+验证可知该数同时也是六边形数和三角形数。
+
+因此，下一个同时是三角形数、五边形数和六边形数的数是 **1533776805**。
+
+---
+
+# 关于 佩尔方程 （Pell's Equation）
+
+下面从**历史来源、基本定义与形式、解的存在性与结构、典型求解方法、解之间的关系、广义佩尔方程及应用**等方面，对佩尔方程做一个系统、全面且尽量直观的介绍。
+
+---
+
+## 一、历史来源与名称由来
+
+### 1.1 古印度的起源
+
+佩尔方程实质上起源很早，最系统的早期研究来自古印度数学校派：
+
+- 7世纪的 **Brahmagupta（婆罗摩笈多）** 就研究了形如  
+  \[
+  x^2 - Dy^2 = 1 \quad\text{或}\quad x^2 - Dy^2 = k
+  \]
+  的方程。他提出了著名的 **“复合公式（composition）”**：如果  
+  \[
+  x_1^2 - Dy_1^2 = n_1,\quad x_2^2 - Dy_2^2 = n_2
+  \]
+  则
+  \[
+  (x_1x_2 + D y_1 y_2)^2 - D(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = n_1 n_2
+  \]
+  从而可以“复合”已有解构造新解，这是后世单位理论和解结构的雏形。
+
+- 后来的印度数学家如 **Bhaskara II、Narayana Pandit** 等，发展了著名的 **Chakravala（循环法）** 算法，这是一种求解佩尔型方程的迭代算法，在计算效率和思想深度上都相当先进[1][2][3]。
+
+### 1.2 欧洲的再发现与系统化
+
+- 17世纪，**Fermat（费马）** 在给欧洲同行的挑战中多次提出这类方程，要求找到对  
+  \[
+  x^2 - Dy^2 = 1
+  \]
+  的普遍解法。
+- 英国数学家 **Brouncker（布朗克）** 利用连分数方法最早给出了一般解法[1][2][4]。
+- 18世纪，**Lagrange（拉格朗日）** 从连分数理论出发，给出了系统而完整的理论（包括“对任意非平方正整数 D，总存在无穷多解”的严格证明）。
+
+### 1.3 “佩尔方程”名称的误会
+
+- 18世纪的 **Euler（欧拉）** 在论述这类方程时，误将相关成果归功于英国数学家 **John Pell**，而实际上 Pell 本人在该方程上的贡献并不突出。
+- 这个误会流传开来，方程被称作“Pell's equation”，中文常译为 **佩尔方程**[1][3][6][9]。
+
+总结：**佩尔方程起源于印度，被费马等人推动进入欧洲视野，拉格朗日完成理论化，最终却误以 Pell 命名。**
+
+---
+
+## 二、基本定义与形式
+
+### 2.1 标准佩尔方程
+
+通常所说的“佩尔方程”是指：
+
+\[
+x^2 - Dy^2 = 1
+\]
+
+其中：
+
+- \(D\) 为正整数，且 **不是完全平方数**（若为完全平方则问题退化）。
+- 要求 \(x,y\) 为整数（常常关注正整数解）。
+
+若 \(D\) 是完全平方数，例如 \(D = k^2\)，则
+\[
+x^2 - k^2 y^2 = (x - ky)(x + ky) = 1
+\]
+整数解只有平凡解 \((x,y) = (\pm1, 0)\)，因此在数论中通常只考虑 **\(D\) 非平方**的情况。
+
+### 2.2 负佩尔方程
+
+另一个常见的变体是
+
+\[
+x^2 - Dy^2 = -1
+\]
+
+通常称为 **负佩尔方程**。是否存在解取决于 \(D\) 的性质，尤其与 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开 **周期长度的奇偶性** 有关（下文会提到）。
+
+### 2.3 广义佩尔方程
+
+再推广一步，可以考虑
+
+\[
+x^2 - Dy^2 = N
+\]
+
+其中 \(N\) 为任意整数。这类方程常称为 **广义佩尔方程（generalized Pell equation）**[2][3][5][7]。
+
+- 当 \(N = 1\) 就是标准佩尔方程。
+- 当 \(N = -1\) 即负佩尔方程。
+- 一般 \(N\) 的解的存在性和结构与标准方程的解有密切联系。
+
+---
+
+## 三、解的存在性与基本结构
+
+### 3.1 拉格朗日定理：总有无穷多解
+
+**定理（Lagrange）：**  
+对任意非平方正整数 \(D\)，方程
+\[
+x^2 - Dy^2 = 1
+\]
+在整数中有 **无限多组非平凡解** \((x,y)\)[1][2][3][6]。
+
+这意味着：
+
+- 不仅总有解，而且解集非常丰富。
+- 所有正整数解中存在**一组最小的正解** \((x_1,y_1)\)，称为 **基本解 / 最小解 / fundamental solution**。
+- 其他所有正整数解都可以从这组基本解“生成”。
+
+### 3.2 解的指数结构
+
+一个非常重要的结构结论是：
+
+> 若 \((x_1, y_1)\) 是 \(x^2 - Dy^2 = 1\) 的基本解，则所有正整数解 \((x_n,y_n)\) 可以用
+> \[
+> x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n,\quad n = 1,2,3,\dots
+> \]
+> 来表示。
+
+其中：
+
+- \(n = 1\) 时就是基本解；
+- 对每个 \(n\)，\((x_n,y_n)\) 都是整数解；
+- 不同的 \(n\) 给出互不相同的解。
+
+这实际上利用了二次域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{D})\) 中的“单位”（范数为 1 的代数整数），即：
+\[
+N(x + y\sqrt{D}) = (x + y\sqrt{D})(x - y\sqrt{D}) = x^2 - Dy^2
+\]
+佩尔方程的解正是 **范数为 1 的单位元**。
+
+---
+
+## 四、典型求解方法：为什么连分数如此核心？
+
+佩尔方程最实用、也最经典的求解方法是 **连分数法（continued fractions）**。其核心在于一个深刻的事实：
+
+> **\(\sqrt{D}\) 的连分数展开是周期性的；  
+> 佩尔方程的解可以通过其连分数的收敛分数（convergents）获得。**
+
+### 4.1 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开
+
+对于 \(D\) 非平方，\(\sqrt{D}\) 是无理数，它的连分数展开形式是
+
+\[
+\sqrt{D} = [a_0; a_1, a_2, \dots] = 
+a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cdots}}
+\]
+
+且有一个重要结论[1][3][6][10]：
+
+- 该连分数是 **纯周期的（自某处起循环）**：
+  \[
+  \sqrt{D} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \dots, a_n}]
+  \]
+  上面的横线表示 \((a_1,\dots,a_n)\) 反复循环。
+- 这个周期长度 \(n\)（有时也写作 \(\ell\)）决定了佩尔方程解的结构，尤其和**负佩尔方程是否有解**有强关联。
+
+### 4.2 收敛分数与基本解
+
+连分数的第 \(k\) 个 **收敛分数** \(p_k/q_k\) 由递推公式给出：
+\[
+\begin{cases}
+p_{-2}=0,\; p_{-1}=1 \\
+q_{-2}=1,\; q_{-1}=0 \\
+p_k = a_k p_{k-1} + p_{k-2} \\
+q_k = a_k q_{k-1} + q_{k-2}
+\end{cases}
+\]
+
+关键事实：
+
+- 对某些 \(k\)，\((x,y)=(p_k,q_k)\) 会满足 \(x^2 - Dy^2 = \pm 1\)。
+- 周期长度的奇偶决定我们应看第几个收敛分数来得到**基本解**。
+
+更具体地（略去严密证明，只给结论）：
+
+- 若周期长度 \(n\) 为 **偶数**，则  
+  基本解来自 “周期结束位置”的收敛分数。
+- 若周期长度 \(n\) 为 **奇数**，则  
+  通常需要看“两个周期”的收敛分数，即更靠后的一项。
+
+典型例子：  
+\(\sqrt{61}\) 的连分数为
+\[
+\sqrt{61} = [7; \overline{1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14}]
+\]
+周期长度为 11（奇数），对应的基本解为：
+\[
+x_1 = 1766319049,\quad y_1 = 226153980
+\]
+这是一个非常大的解，说明基本解 **可能极其巨大**（这在计算理论上非常重要）。
+
+### 4.3 Chakravala（循环法）
+
+另一个经典方法是印度的 **Chakravala algorithm**（循环法）[2][3][5]：
+
+- 通过从“近似解”开始，不断调整，使  
+  \[
+  x^2 - Dy^2 = k
+  \]
+  中的绝对值 \(|k|\) 逐步缩小，最终达到 \(k = \pm1\)。
+- 每一步更新利用类似 Brahmagupta 复合公式的构造。
+- 在很多 \(D\) 的情形下，它比直接算连分数更高效。
+
+现代教材多以连分数为主，但在历史与算法思想上，Chakravala 非常值得单独研究。
+
+---
+
+## 五、解之间的关系与递推公式
+
+### 5.1 “乘法封闭”与单位群结构
+
+设 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 均是
+\[
+x^2 - Dy^2 = 1
+\]
+的解，则考虑
+\[
+(x_1 + y_1\sqrt{D})(x_2 + y_2\sqrt{D}) = 
+(x_3 + y_3\sqrt{D})
+\]
+
+展开可得：
+\[
+x_3 = x_1x_2 + Dy_1y_2,\quad
+y_3 = x_1y_2 + x_2y_1
+\]
+可以验证：
+\[
+x_3^2 - Dy_3^2 = (x_1^2 - Dy_1^2)(x_2^2 - Dy_2^2) = 1\cdot1 = 1
+\]
+即：**两个解的“乘法”仍是解**[2][6][8]。这说明佩尔方程解在运算
+\[
+(x,y) \cdot (x',y') = (x x' + D y y',\, x y' + x' y)
+\]
+下形成一个 **阿贝尔群**，这本质上就是 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\) 中单位元群。
+
+### 5.2 从基本解生成所有解：指数关系
+
+如前所述，若 \((x_1,y_1)\) 是基本解，则
+\[
+x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n
+\]
+
+因此得到显式递推公式（可由二项式展开得到）：
+
+- 一阶递推：
+  \[
+  \begin{cases}
+  x_{n+1} = x_1 x_n + D y_1 y_n \\
+  y_{n+1} = x_1 y_n + y_1 x_n
+  \end{cases}
+  \]
+- 二阶线性递推（只用 \(x_n\) 自身）：
+  \[
+  x_{n+1} = 2 x_1 x_n - x_{n-1},\quad
+  y_{n+1} = 2 x_1 y_n - y_{n-1}
+  \]
+  这是因为 \((x_1 + y_1\sqrt{D})\) 类似“特征根”，解序列是形如 \(\lambda^n\) 的线性递推。
+
+这些递推在研究解的增长速度、解中出现“完全幂”等性质时非常有用[8][9]。
+
+---
+
+## 六、广义佩尔方程 \(x^2 - Dy^2 = N\)
+
+### 6.1 基本结构
+
+广义佩尔方程：
+\[
+x^2 - Dy^2 = N
+\]
+其中 \(D\) 非平方，\(N\) 为任意整数[2][3][5][7]。
+
+核心事实：
+
+- 若存在 **一个**整数解 \((x_0,y_0)\)，且标准佩尔方程有基本解 \((x_1,y_1)\)，则
+  所有解都可以写成
+  \[
+  x + y\sqrt{D} = (x_0 + y_0\sqrt{D})(x_1 + y_1\sqrt{D})^n,\quad n\in\mathbb{Z}
+  \]
+- 即：解的集合是“单位群轨道上的一个整点”。
+
+更直观地说：
+
+1. **先解标准方程** \(x^2 - Dy^2 = 1\)，求出单位元 \(u = x_1 + y_1\sqrt{D}\)；
+2. 若能找到一个满足 \(x^2 - Dy^2 = N\) 的特解 \(v = x_0 + y_0\sqrt{D}\)，
+3. 则所有解都是 \(v, uv, u^2 v, u^3 v, ...\) 这一无限序列中的整数点。
+
+### 6.2 解的存在性与条件
+
+- 广义方程并不总有解，它的可解性与模 \(D\) 的二次剩余、类群结构等深层理论有关。
+- 一旦有一个解，通常便会有无穷多解，这是因为可以不断乘以单位元 \(u\)。
+
+在具体计算中，常先通过模数检查、有限搜索或用连分数辅助找到一个特解，再用标准佩尔方程的单位元生成全部解。
+
+---
+
+## 七、佩尔方程通常解决或涉及哪些问题？
+
+佩尔方程本身就是经典的丢番图问题，但它也广泛出现在以下情景中：
+
+### 7.1 有理逼近与“最佳逼近”
+
+- 连分数理论告诉我们：连分数的收敛分数 \(p_k/q_k\) 给出对实数 \(\alpha\) 的 **最佳有理逼近**。
+- 对 \(\alpha = \sqrt{D}\) 而言，满足
+  \[
+  \left| \sqrt{D} - \frac{x}{y} \right|
+  \]
+  非常小的分数 \(\frac{x}{y}\) 常常来自佩尔方程解，因为若
+  \[
+  x^2 - Dy^2 = \pm 1
+  \]
+  则
+  \[
+  \left|\sqrt{D} - \frac{x}{y}\right|
+    = \left|\frac{x^2 - Dy^2}{y(\sqrt{D} + x/y)}\right|
+    \approx \frac{1}{2 \sqrt{D} y^2}
+  \]
+- 因此，佩尔方程的解经常用于构造**对平方根的极优有理近似**。
+
+### 7.2 二次域与代数数论中的单位问题
+
+在二次代数数域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{D})\) 中：
+
+- 环 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\) 的单位元集合与佩尔方程的解一一对应：
+  \[
+  N(x + y\sqrt{D}) = x^2 - Dy^2 = \pm 1
+  \]
+- 研究单位元结构（Dirichlet 单位定理的特例）即是在研究佩尔方程。
+- 类数、理想分解、模形式等更高阶理论中，都频繁出现佩尔方程及其广义形式[3][7][9]。
+
+### 7.3 组合、几何与图论中的出现
+
+- 一些关于 **整数点格、几何图形面积** 的问题会转化为方程 \(x^2 - Dy^2 = N\)；
+- 在某些组合结构（例如 dessins d'enfants 的不变量研究）中也出现佩尔方程[7]。
+
+### 7.4 密码学与算法复杂度
+
+- 佩尔方程提供了构造**巨大整数对**的自然途径，可用于某些密码构造或伪随机数生成；
+- 同时也出现在对某些加密算法的攻击分析中；
+- 在计算复杂性研究中，用来测试数论算法的效率。
+
+---
+
+## 八、具体例子与直观体会
+
+### 8.1 小 D 的基本解示例
+
+根据理论和连分数计算，可得到若干典型 D 的基本解（这里列出部分）[1][2][3][6]：
+
+| \(D\) | 基本解 \((x_1, y_1)\) |
+|------|----------------------|
+| 2    | (3, 2)              |
+| 3    | (2, 1)              |
+| 5    | (9, 4)              |
+| 6    | (5, 2)              |
+| 7    | (8, 3)              |
+| 8    | (3, 1)              |
+| 10   | (19, 6)             |
+| 11   | (10, 3)             |
+| 12   | (7, 2)              |
+| 14   | (15, 4)             |
+| 15   | (4, 1)              |
+| 17   | (33, 8)             |
+| 18   | (17, 4)             |
+| 19   | (170, 39)           |
+| 20   | (9, 2)              |
+| 21   | (55, 12)            |
+| 22   | (197, 42)           |
+| 23   | (24, 5)             |
+| 24   | (5, 1)              |
+| 28   | (127, 24)           |
+| 31   | (1520, 273)         |
+| 43   | (3482, 531)         |
+| 46   | (24335, 3588)       |
+| 61   | (1766319049, 226153980) |
+
+可以看到：
+
+- 有的 \(D\)（如 2,3,5）基本解较小；
+- 有的 \(D\)（如 61）基本解极大，这正是为什么佩尔方程在计算机上求解仍然具有挑战性。
+
+### 8.2 利用递推获得更高阶解的感受
+
+以 \(D = 2\) 为例，方程
+\[
+x^2 - 2y^2 = 1
+\]
+基本解为 \((3,2)\)。则第二个解由
+\[
+x_2 + y_2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2}
+\]
+即 \((x_2,y_2) = (17,12)\)，验证：
+\[
+17^2 - 2\cdot 12^2 = 289 - 288 = 1
+\]
+第三个解：
+\[
+(3 + 2\sqrt{2})^3 = 99 + 70\sqrt{2} \Rightarrow (x_3,y_3) = (99,70)
+\]
+解的规模指数增长，这种**指数级膨胀**是佩尔方程序列的一大特征。
+
+---
+
+## 九、总结：佩尔方程的内涵与价值
+
+综合上述内容，可以从几个角度理解佩尔方程的“全貌”：
+
+1. **来源**  
+   - 起源于古印度的丢番图方程研究，是 Brahmagupta–Bhaskara–Chakravala 传统的重要对象；
+   - 17世纪由 Fermat 挑战推动，Brouncker 首给欧洲解法，18世纪 Lagrange 完成理论统一；
+   - 名称源自 Euler 的误归功，John Pell 实际贡献有限。
+
+2. **通常解决的问题**  
+   - 经典丢番图问题：给定非平方 \(D\)，求所有整数解 \((x,y)\) 使 \(x^2 - Dy^2 = 1\)；
+   - 给出 \(\sqrt{D}\) 的最佳有理逼近；
+   - 在二次代数数域中，描述环 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\) 的单位元结构；
+   - 为广义方程 \(x^2 - Dy^2 = N\) 提供单位群背景，从而刻画其全部解；
+   - 在密码学、几何、图论等领域，作为子问题或工具频繁出现。
+
+3. **解的关系与结构**  
+   - 存在唯一（在正象限）的**最小正解** \((x_1,y_1)\)，称为基本解；
+   - 所有解满足
+     \[
+     x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n
+     \]
+     呈现指数结构；
+   - 两个解的“乘积”仍是解，形成单位群，递推关系
+     \[
+     x_{n+1} = x_1x_n + Dy_1y_n,\quad y_{n+1} = x_1y_n + y_1x_n
+     \]
+     或二阶线性递推形式；
+   - 对广义方程 \(x^2 - Dy^2 = N\)，一旦有一个特解 \((x_0,y_0)\)，所有解由
+     \[
+     (x_0 + y_0\sqrt{D})(x_1 + y_1\sqrt{D})^n
+     \]
+     给出。
+
+4. **解法的核心思路**  
+   - 通过 \(\sqrt{D}\) 的 **连分数展开** 及其收敛分数，找到基本解；
+   - 或用 Chakravala 循环法等算法迭代逼近；
+   - 本质上都是在寻找“范数为 1 的单位”。
+
+佩尔方程表面上只是一个简单的二次方程，但它串联了：
+
+- 古典丢番图方程；
+- 连分数与最优有理逼近；
+- 代数数论中的单位与范数；
+- 算法数论和复杂性问题。
+
+从历史、理论到算法与应用，都是一个非常典型又极具深度的数学对象。
+
+---
+
+### References
+
+[1] Pell's equation. <https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation>  
+[2] Pell equation - AoPS Wiki. <https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Pell_equation>  
+[3] Pell Equation -- Wolfram MathWorld. <https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html>  
+[4] Pell's equation - MacTutor History of Mathematics. <https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pell/>  
+[5] PELL'S EQUATION, I & II, by K. Conrad (PDFs). <https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn1.pdf> / <https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn2.pdf>  
+[6] Continued Fractions and Pell's Equation (various lecture notes). <https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/contfrac/pell.html>  
+[7] Generalized Pell equations and applications (Stanford / UConn handouts). <http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/154Page/handouts/genpell.pdf>  
+[8] Recurrence relations for Pell's equation solutions (MathStackExchange, etc.). <https://math.stackexchange.com/questions/2932750/recurrence-relation-for-pells-equation-x2-2y2-1>  
+[9] On the Brahmagupta–Fermat–Pell Equation. <https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/BrahmaguptaFermatPellEn.pdf>  
+[10] Continued fractions and Pell's equation (expository PDFs). <https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers/Yang.pdf>

solutions/0046.GoldbachsConjecture/euler_46.py

@@ -0,0 +1,81 @@
+"""
+It was proposed by Christian Goldbach that every odd composite number can be written as the sum of a prime and twice a square.
+
+9 = 7 + 2 * 1^2
+15 = 7 + 2 * 2^2
+21 = 3 + 2 * 3^2
+25 = 7 + 2 * 3^2
+27 = 19 + 2 * 2^2
+33 = 31 + 2 * 1^2
+
+It turns out that the conjecture was false.
+What is the smallest odd composite that cannot be written as the sum of a prime and twice a square?
+"""
+
+import math
+import time
+
+
+def timer(func):
+    def wrapper(*args, **kwargs):
+        start_time = time.time()
+        result = func(*args, **kwargs)
+        end_time = time.time()
+        print(f"{func.__name__} took {end_time - start_time:.6f} seconds")
+        return result
+
+    return wrapper
+
+
+def sieve_of_eratosthenes(limit: int = 5000) -> list[bool]:
+    """生成一个布尔数组，is_prime[i]为True表示i是质数"""
+    is_prime = [True] * (limit + 1)
+    is_prime[0:2] = [False, False]
+
+    for i in range(2, int(limit**0.5) + 1):
+        if is_prime[i]:
+            for j in range(i * i, limit + 1, i):
+                is_prime[j] = False
+    return is_prime
+
+
+def optimized_find_counterexamples(limit: int = 10000) -> list[int]:
+    """
+    优化版本，使用集合提高查找效率
+    """
+    # 生成质数表
+    is_prime = sieve_of_eratosthenes(limit)
+    primes = [i for i in range(limit + 1) if is_prime[i]]
+
+    # 预计算所有奇合数
+    odd_composites = set(n for n in range(3, limit + 1, 2) if not is_prime[n])
+
+    # 预计算2k²的值
+    max_k = int(math.sqrt(limit / 2)) + 1
+    two_k_squared = [2 * k * k for k in range(1, max_k + 1)]
+
+    # 计算所有可以表示的奇合数
+    representable_odd_composites = set()
+    for p in primes:
+        if p > limit:
+            break
+        for tks in two_k_squared:
+            n = p + tks
+            if n > limit:
+                break
+            if n in odd_composites:
+                representable_odd_composites.add(n)
+
+    # 找出不能表示的奇合数
+    return sorted(odd_composites - representable_odd_composites)
+
+
+@timer
+def main(limit: int = 20000) -> None:
+    res = optimized_find_counterexamples(limit)
+    for r in res:
+        print(r)
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()

solutions/0046.GoldbachsConjecture/readme.md

@@ -0,0 +1,4 @@
+这个问题，怎么都不算有简洁的方式找到，暴力搜索是唯一途径，但所幸，这个搜索还算快速。
+
+另外，这个问题可以在 [OEIS](https://oeis.org/A060003) 上直接搜索到。
+这也算是最简单偷懒的方式了吧。