# 动态规划法

## 核心思路

这个函数采用**动态规划**的思想，通过构建一个 `ways` 数组来累积计算每个金额对应的方法数。

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## 逐行解析

### 1. 初始化
```python
coins = [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200]
ways = [1] + [0] * 200  # 结果是 [1, 0, 0, 0, ..., 0] (共201个元素)
```

- `coins`: 所有可用的硬币面值（单位：便士）
- `ways[i]`: 表示凑成金额 `i` 的方法数
- **关键点**：`ways[0] = 1` 表示凑成0元有1种方法（什么都不用），这是动态规划的**基准条件**

### 2. 双重循环的核心逻辑
```python
for coin in coins:           # 按顺序遍历每种硬币
    for i in range(coin, 201):  # 从当前硬币面值遍历到200
        ways[i] += ways[i - coin]
```

这就是**状态转移方程**，其含义是：

> **凑成金额 `i` 的方法数 = 原来方法数 + 使用当前硬币的方法数**

其中 `ways[i - coin]` 表示：在使用了1枚当前硬币后，凑齐剩余金额的方法数。

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## 具体执行过程演示

让我们跟踪计算前几个值的变化，以理解算法如何工作：

### 初始状态
```
ways = [1, 0, 0, 0, 0, 0, ...]  # ways[0]=1
```

### 第1轮：使用硬币 1p
```python
for i in range(1, 201):
    ways[i] += ways[i-1]
```

- `i=1`: `ways[1] += ways[0]` → `0 + 1 = 1`  ✓ 凑1p: {1}
- `i=2`: `ways[2] += ways[1]` → `0 + 1 = 1`  ✓ 凑2p: {1,1}
- `i=3`: `ways[3] += ways[2]` → `0 + 1 = 1`  ✓ 凑3p: {1,1,1}
- ...
- **结果**：只用1p硬币，每个金额都有且仅有1种方法

### 第2轮：加入硬币 2p
```python
for i in range(2, 201):
    ways[i] += ways[i-2]
```

关键更新点：
- `i=2`: `ways[2] += ways[0]` → `1 + 1 = 2` 
  - 原来：{1,1}
  - 新增：{2}
- `i=3`: `ways[3] += ways[1]` → `1 + 1 = 2`
  - 原来：{1,1,1}
  - 新增：{1,2}
- `i=4`: `ways[4] += ways[2]` → `1 + 2 = 3`
  - 原来：{1,1,1,1}
  - 新增：{1,1,2}, {2,2}

### 第3轮：加入硬币 5p
当加入5p硬币后，凑5p的方法从1种 {1,1,1,1,1} 变成2种，新增 {5}。

**以此类推**，直到处理完所有硬币类型。

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## 为什么这样计算？

这个算法的精妙之处在于：

1. **按硬币顺序处理**：确保计算的是**组合数**（不考虑顺序）
   - {1,2,2} 和 {2,1,2} 视为同一种方法
   - 如果调换循环顺序（先金额后硬币），会计算出排列数

2. **累积效应**：`ways` 数组保存的是**所有已处理硬币**能凑成的方法总数

3. **避免重复**：每种硬币只被考虑一次在其对应的外层循环中，确保不重复计算

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## 最终结果

当循环结束后，`ways[200]` 的值就是 200（便士）能被凑成的所有方法数。

```python
print(f"\nThe number of ways to make £2 is {ways[200]:,d}")
```

输出结果是：**73682**

这意味着用这8种英国硬币凑成2英镑共有**73,682**种不同的方式。

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## 时间复杂度

- **O(N×M)**：其中 N = 硬币种类数（8），M = 目标金额（200）
- 实际计算量约为 8 × 200 = 1600 次操作，效率极高

这个算法简洁优雅，展示了动态规划在组合计数问题中的强大威力。