方法1：倒算

- N = a_n ; D = 1
- k:(n-1 → 0) => N,D = a_k*N+D ,N
- 最后： gcd(N,D) 约分

方法2：正算

正算如何成立呢？这个我还没有很好的想法。

```
p2, p1 = 0, 1   # p_{-2}, p_{-1}
q2, q1 = 1, 0   # q_{-2}, q_{-1}

for a in cf:
    p = a * p1 + p2
    q = a * q1 + q2
    p2, p1 = p1, p
    q2, q1 = q1, q

# 结果就是 p1 / q1
```


-----

广义连分数

形式为：
$b_0+\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\cdots+\frac{a_n}{b_n}}}$

用递推：
$A_{-1}=1,\quad A_0=b_0$
$B_{-1}=0,\quad B_0=1$
对 $k=1,\dots,n$ ：
$A_k=b_kA_{k-1}+a_kA_{k-2}$
$B_k=b_kB_{k-1}+a_kB_{k-2}$

最后：
$\text{值}=\frac{A_n}{B_n}$

简单连分数只是 $b_0=a_0,\ b_k=a_k,\ a_k=1$ 的特殊情况。


-----

## 1. 从最直观的“从后往前”看

简单连分数：

$$
[a_0;a_1,\dots,a_n]
=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\cdots+\frac1{a_n}}}
$$

如果从最里面往外算，设当前尾部的值为：

$$
T_k=[a_k;a_{k+1},\dots,a_n]=\frac{N_k}{D_k}
$$

那么往外加一层 $a_{k-1}$，就变成：

$$
T_{k-1}=a_{k-1}+\frac1{T_k}
=a_{k-1}+\frac1{N_k/D_k}
=a_{k-1}+\frac{D_k}{N_k}
$$

通分：

$$
T_{k-1}=\frac{a_{k-1}N_k+D_k}{N_k}
$$

所以：

$$
N_{k-1}=a_{k-1}N_k+D_k,\qquad D_{k-1}=N_k
$$

这就是从后往前的递推：

$$
(N,D)\leftarrow (aN+D,\;N)
$$

它的道理非常直接：  
**连分数每往外加一层，就是做一次 $x\mapsto a+1/x$。**  
如果 $x=N/D$，那么：

$$
a+\frac1x=a+\frac DN=\frac{aN+D}{N}
$$

所以分子变成 $aN+D$，分母变成原来的分子 $N$。

---

## 2. 从前往后的 $p,q$ 递推为什么也对？

从前往后定义收敛项：

$$
\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots,a_k]
$$

递推公式是：

$$
p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}
$$

$$
q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}
$$

初始条件：

$$
p_{-2}=0,\quad p_{-1}=1
$$

$$
q_{-2}=1,\quad q_{-1}=0
$$

这个递推看起来像是突然出现的，但它其实来自矩阵乘法。

---

## 3. 关键：线性分式变换与矩阵表示

考虑变换：

$$
f_a(x)=a+\frac1x
$$

它可以写成：

$$
f_a(x)=\frac{ax+1}{x}
$$

这种形式叫线性分式变换。它可以对应一个 $2\times 2$ 矩阵：

$$
f_a \longleftrightarrow M(a)=
\begin{pmatrix}
a & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
$$

为什么？因为线性分式变换：

$$
x\mapsto \frac{Ax+B}{Cx+D}
$$

对应矩阵：

$$
\begin{pmatrix}
A & B\\
C & D
\end{pmatrix}
$$

而 $a+1/x=(ax+1)/(1x+0)$，所以矩阵就是：

$$
\begin{pmatrix}
a & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
$$

线性分式变换有个重要性质：  
**复合两个线性分式变换，对应矩阵相乘。**

也就是说：

$$
f_{a_0}(f_{a_1}(x))
$$

对应矩阵：

$$
M(a_0)M(a_1)
$$

于是整个连分数：

$$
[a_0;a_1,\dots,a_n]
$$

对应矩阵乘积：

$$
M(a_0)M(a_1)\cdots M(a_n)
$$

---

## 4. 矩阵乘积展开就是递推

设：

$$
M(a_0)M(a_1)\cdots M(a_k)
=
\begin{pmatrix}
p_k & p_{k-1}\\
q_k & q_{k-1}
\end{pmatrix}
$$

当 $k=-1$ 时，空乘积是单位矩阵：

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}
$$

可以对应：

$$
p_{-1}=1,\quad p_{-2}=0,\quad q_{-1}=0,\quad q_{-2}=1
$$

现在右乘一个 $M(a_k)$：

$$
\begin{pmatrix}
p_{k-1} & p_{k-2}\\
q_{k-1} & q_{k-2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_k & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_kp_{k-1}+p_{k-2} & p_{k-1}\\
a_kq_{k-1}+q_{k-2} & q_{k-1}
\end{pmatrix}
$$

所以新的左上角就是：

$$
p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}
$$

新的左下角就是：

$$
q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}
$$

这正是从前往后的递推公式。

最后，矩阵乘积作用在无穷大上：

$$
\begin{pmatrix}
p_n & p_{n-1}\\
q_n & q_{n-1}
\end{pmatrix}
(\infty)
=
\frac{p_n}{q_n}
$$

所以：

$$
[a_0;a_1,\dots,a_n]=\frac{p_n}{q_n}
$$

---

## 5. 总结一句话

递推之所以成立，是因为：

$$
a+\frac1x=\frac{ax+1}{x}
$$

每一步都是同一个线性分式变换。  
线性分式变换复合对应矩阵相乘，而矩阵相乘展开后，自然得到：

$$
p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}
$$

$$
q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}
$$

从后往前算，是直接反复做 $N,D\leftarrow aN+D,N$；  
从前往后算，是用 $p,q$ 递推维护当前收敛项的分子分母。  
两者本质上是同一件事，只是计算方向不同。

广义连分数也一样，如果每层是：

$$
b_k+\frac{a_k}{x}
$$

它对应矩阵：

$$
\begin{pmatrix}
b_k & a_k\\
1 & 0
\end{pmatrix}
$$

递推就变成：

$$
A_k=b_kA_{k-1}+a_kA_{k-2}
$$

$$
B_k=b_kB_{k-1}+a_kB_{k-2}
$$

简单连分数只是 $b_k=a_k,\ a_k=1$ 的特殊情况。