# 组合数的思考

我最惊讶的地方在于，直接计算比重新整理计算公式更快。这是不是因为搜索空间不大，所以才如此？

那么另一个角度来说，是不是基于数学原理来直接确认数量是更快的方式？显然，是这样的。

简单来说，组合数 $\displaystyle\binom{n}{r}$ 相对于 $r$ 具有单峰对称性，
所以只有找到最小的 $r^*$ 就可以快速得到具体数量了，同时根据单峰对称性，计算量也能有大幅减少，
至少不用计算大数的连乘。

## 核心数学观察

对于固定的 $n$，组合数 $\displaystyle\binom{n}{r}$ 关于 $r$ 具有**单峰对称性**：

$$\binom{n}{0} < \binom{n}{1} < \cdots < \binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} = \binom{n}{\lceil n/2\rceil} > \cdots > \binom{n}{n}$$

因此，只要找到**最小的** $r^*$ 使得 $\displaystyle\binom{n}{r^*} > 10^6$，则该 $n$ 下所有满足条件的 $r$ 构成连续区间：

$$r^* \le r \le n - r^*$$

满足条件的个数为：

$$\boxed{n - 2r^* + 1}$$

这已经把问题从"枚举所有 $r$"转化为"对每个 $n$ 找临界点 $r^*$"。

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## 方法一：递推截断法（最实用）

利用递推关系，从 $r=0$ 开始逐项计算，一旦超过 $10^6$ 立即停止：

$$\binom{n}{r} = \binom{n}{r-1} \cdot \frac{n-r+1}{r}$$

**优点**：
- 不需要计算阶乘
- 不需要处理大整数（因为中途就停了）
- 不需要计算对称右侧的所有值

例如 $n=100$ 时，只需算到 $r=4$ 就发现 $\binom{100}{4}=3{,}921{,}225 > 10^6$，立刻得知该 $n$ 下有 $100-2\times4+1=93$ 个满足条件的 $r$。

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## 方法二：固定 $r$，反向求阈值 $N_r$

这是一个更"数学化"的思路。对于每个固定的 $r$，由于 $\displaystyle\binom{n}{r}$ 关于 $n$ 严格递增，存在唯一的最小整数 $N_r$ 使得：

$$\binom{N_r}{r} > 10^6 \quad\text{且}\quad \binom{N_r-1}{r} \le 10^6$$

计算得到（只需对 $r=1$ 到 $50$ 各跑一个递增序列）：

| $r$ | $N_r$（最小 $n$） |
|:---:|:---:|
| 4 | 72 |
| 5 | 44 |
| 6 | 33 |
| 7 | 28 |
| 8 | 25 |
| 9 | 24 |
| 10 | 23 |
| 11 | 23 |
| 12 | 23 |
| 13 | 23 |
| 14 | 24 |
| ... | ... |

**关键推论**：对于给定的 $n$，临界点恰好是

$$r^*(n) = \min\{r \mid N_r \le n\}$$

即：**找到第一个阈值不超过 $n$ 的 $r$**。

例如：
- $n=25$：$N_8=25 \le 25$，而 $N_7=28 > 25$，故 $r^*=8$，个数为 $25-16+1=10$
- $n=72$：$N_4=72 \le 72$，而 $N_3=183 > 72$，故 $r^*=4$，个数为 $72-8+1=65$

然后对 $n=23$ 到 $100$ 求和 $\sum(n-2r^*+1)$ 即得 **4075**。

这种方法把"对每个 $(n,r)$ 算组合数"变成了"对每个 $r$ 找一次阈值"，计算量从 $O(n^2)$ 降到约 $O(n \cdot r_{\max})$，且每个序列找到阈值即停。

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## 方法三：对数法（避免所有大整数）

预先计算 $\ln(k)$ 的前缀和，则：

$$\ln\binom{n}{r} = \sum_{i=1}^{n}\ln i - \sum_{i=1}^{r}\ln i - \sum_{i=1}^{n-r}\ln i$$

只需判断该值是否大于 $\ln(10^6) \approx 13.8155$。全程只涉及 double 类型的加减，**完全不出现大整数**。

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## 方法四：多项式求根（针对小 $r$）

对于固定的 $r \le 4$，$\displaystyle\binom{n}{r}$ 是关于 $n$ 的低次多项式，可以直接解方程：

- $r=1$: $n = 10^6$（超出范围）
- $r=2$: $n(n-1) = 2\times 10^6$，解得 $n \approx 1414$（超出范围）
- $r=3$: $n(n-1)(n-2) = 6\times 10^6$，解得 $n \approx 182$（超出范围）
- $r=4$: $n(n-1)(n-2)(n-3) = 24\times 10^6$，正实根约为 $71.5$，故 $N_4=72$

对于 $r \ge 5$，虽然是高次方程无解析解，但可以用牛顿迭代等数值方法快速求根，从而确定 $N_r$。

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## 总结

| 方法 | 是否避免大整数 | 是否减少计算次数 | 核心数学工具 |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 递推截断 | ✅ | ✅ | 单调性 + 递推公式 |
| 阈值法 ($N_r$) | ✅ | ✅ | 单调性 + 固定 $r$ 求根 |
| 对数法 | ✅ | ⚠️（仍需逐对判断） | $\ln$ 前缀和 |
| 多项式求根 | ✅ | ✅ | 代数方程 / 数值分析 |

**不存在一个封闭公式能直接写出答案 4075 而完全不做任何数值运算**——因为问题的本质是离散的不等式判断。但利用组合数的单调性和对称性，可以把计算量压缩到极小，且全程避开巨大整数的运算。