组合数的思考
我最惊讶的地方在于，直接计算比重新整理计算公式更快。这是不是因为搜索空间不大，所以才如此？
那么另一个角度来说，是不是基于数学原理来直接确认数量是更快的方式？显然，是这样的。
简单来说，组合数 \displaystyle\binom{n}{r} 相对于 r 具有单峰对称性，
所以只有找到最小的 r^* 就可以快速得到具体数量了，同时根据单峰对称性，计算量也能有大幅减少，
至少不用计算大数的连乘。
核心数学观察
对于固定的 $n$，组合数 \displaystyle\binom{n}{r} 关于 r 具有单峰对称性：
\binom{n}{0} < \binom{n}{1} < \cdots < \binom{n}{\lfloor n/2\rfloor} = \binom{n}{\lceil n/2\rceil} > \cdots > \binom{n}{n}
因此，只要找到最小的 r^* 使得 $\displaystyle\binom{n}{r^*} > 10^6$，则该 n 下所有满足条件的 r 构成连续区间：
r^* \le r \le n - r^*
满足条件的个数为：
\boxed{n - 2r^* + 1}
这已经把问题从"枚举所有 $r$"转化为"对每个 n 找临界点 $r^*$"。
方法一：递推截断法（最实用）
利用递推关系，从 r=0 开始逐项计算，一旦超过 10^6 立即停止：
\binom{n}{r} = \binom{n}{r-1} \cdot \frac{n-r+1}{r}
优点：
- 不需要计算阶乘
- 不需要处理大整数（因为中途就停了）
- 不需要计算对称右侧的所有值
例如 n=100 时，只需算到 r=4 就发现 $\binom{100}{4}=3{,}921{,}225 > 10^6$，立刻得知该 n 下有 100-2\times4+1=93 个满足条件的 $r$。
方法二：固定 $r$，反向求阈值 N_r
这是一个更"数学化"的思路。对于每个固定的 $r$，由于 \displaystyle\binom{n}{r} 关于 n 严格递增，存在唯一的最小整数 N_r 使得：
\binom{N_r}{r} > 10^6 \quad\text{且}\quad \binom{N_r-1}{r} \le 10^6
计算得到（只需对 r=1 到 50 各跑一个递增序列）：
r |
$N_r$（最小 $n$） |
|---|---|
| 4 | 72 |
| 5 | 44 |
| 6 | 33 |
| 7 | 28 |
| 8 | 25 |
| 9 | 24 |
| 10 | 23 |
| 11 | 23 |
| 12 | 23 |
| 13 | 23 |
| 14 | 24 |
| ... | ... |
关键推论：对于给定的 $n$，临界点恰好是
r^*(n) = \min\{r \mid N_r \le n\}
即：找到第一个阈值不超过 n 的 $r$。
例如：
- $n=25$：$N_8=25 \le 25$，而 $N_7=28 > 25$，故 $r^*=8$，个数为
25-16+1=10 - $n=72$：$N_4=72 \le 72$，而 $N_3=183 > 72$，故 $r^*=4$，个数为
72-8+1=65
然后对 n=23 到 100 求和 \sum(n-2r^*+1) 即得 4075。
这种方法把"对每个 (n,r) 算组合数"变成了"对每个 r 找一次阈值"，计算量从 O(n^2) 降到约 $O(n \cdot r_{\max})$，且每个序列找到阈值即停。
方法三：对数法（避免所有大整数）
预先计算 \ln(k) 的前缀和，则：
\ln\binom{n}{r} = \sum_{i=1}^{n}\ln i - \sum_{i=1}^{r}\ln i - \sum_{i=1}^{n-r}\ln i
只需判断该值是否大于 $\ln(10^6) \approx 13.8155$。全程只涉及 double 类型的加减，完全不出现大整数。
方法四：多项式求根（针对小 $r$）
对于固定的 $r \le 4$，\displaystyle\binom{n}{r} 是关于 n 的低次多项式，可以直接解方程：
r=1: $n = 10^6$（超出范围）r=2: $n(n-1) = 2\times 10^6$，解得 $n \approx 1414$（超出范围）r=3: $n(n-1)(n-2) = 6\times 10^6$，解得 $n \approx 182$（超出范围）r=4: $n(n-1)(n-2)(n-3) = 24\times 10^6$，正实根约为 $71.5$，故N_4=72
对于 $r \ge 5$，虽然是高次方程无解析解，但可以用牛顿迭代等数值方法快速求根，从而确定 $N_r$。
总结
| 方法 | 是否避免大整数 | 是否减少计算次数 | 核心数学工具 |
|---|---|---|---|
| 递推截断 | ✅ | ✅ | 单调性 + 递推公式 |
阈值法 (N_r) |
✅ | ✅ | 单调性 + 固定 r 求根 |
| 对数法 | ✅ | ⚠️（仍需逐对判断） | \ln 前缀和 |
| 多项式求根 | ✅ | ✅ | 代数方程 / 数值分析 |
不存在一个封闭公式能直接写出答案 4075 而完全不做任何数值运算——因为问题的本质是离散的不等式判断。但利用组合数的单调性和对称性，可以把计算量压缩到极小，且全程避开巨大整数的运算。