要找到一对五边形数 P_j 和 $P_k$，使得它们的和与差都是五边形数，且差 D = |P_j - P_k| 最小，可以采用以下数学方法：
设 $P(n) = \frac{n(3n-1)}{2}$。我们需要找到正整数 a > b 和 $c, d$，满足：
P(a) - P(b) = P(d), \quad P(a) + P(b) = P(c).
由此可得：
P(a) = \frac{P(c) + P(d)}{2}, \quad P(b) = \frac{P(c) - P(d)}{2}.
令 $u = a - b$，$v = a + b$，则原方程化为：
u(3v - 1) = d(3d - 1) \tag{A}
3(v^2 + u^2) - 2v = 2c(3c - 1) \tag{B}
为了最小化 $D = P(d)$，从 d = 1 开始递增，对每个 d 计算 $M = d(3d - 1)$。将 M 分解为两个正整数因子 u 和 $w$，使得 $w = 3v - 1$，因此 $w \equiv 2 \pmod{3}$。令 $v = \frac{w+1}{3}$，检查 u 和 v 是否同奇偶（以确保 a = \frac{v+u}{2} 和 b = \frac{v-u}{2} 为整数）。然后计算 a 和 $b$，并验证 P(a) + P(b) 是否为五边形数，即判别式 \Delta = 1 + 24(P(a) + P(b)) 是否为完全平方数，且 $\sqrt{\Delta} \equiv 5 \pmod{6}$。
按此方法搜索，当 d = 1912 时，得到 $P(d) = 5482660$，且存在 $a = 2167$，$b = 1020$，满足条件：
P(2167) = 7042750, \quad P(1020) = 1560090,
P(2167) - P(1020) = 5482660 = P(1912),
P(2167) + P(1020) = 8602840 = P(2395).
因此，最小的 D 值为 $5482660$。