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title: "谱 MDP 分解 (Spectral MDP Decomposition)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [reinforcement-learning, theory, representation-learning, mdp]
sources: [raw/papers/naveen-repmt-sac-2026.md]
confidence: high
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# 谱 MDP 分解 (Spectral MDP Decomposition)

谱 MDP 分解将 MDP 的奖励函数和 Q 函数表示为**特征映射 φ 的线性组合**。[[repmt-sac|RepMT-SAC]] 将其推广到多任务设置——φ 任务不变，权重 w 任务特定。

## 定义

MDP 允许谱分解，若存在：

```
r(s,a,τ) = ⟨φ(s,a), θ(τ)⟩    （奖励分解）
Q^π(s,a;τ) = ⟨φ(s,a), w^π(τ)⟩   （Q 函数分解）
```

## 关键推广

传统谱分解（如 CTRL）假设 w 是固定向量。RepMT-SAC 将 w(τ) 推广为**任务的显式函数**：

| 维度 | 单任务谱分解 | 多任务推广 |
|------|------------|----------|
| φ(s,a) | 任务特定 | 任务不变 |
| w | 固定向量 | w(τ) 显式依赖任务 |
| 泛化 | 无 | 零样本 + 少样本 |

## 学习方式

使用**谱条件密度估计**近似学习 φ 和 µ(s')：

```
min_{φ,µ} -E[ log (exp⟨φ(s,a),µ(s')⟩ / Σ exp⟨φ(s,a),µ(s'')⟩) ]
```

类似对比学习的 softmax 交叉熵，使 φ 和 µ 的内积近似转移密度 P(s'|s,a)。

## 参考

- [[rep-mt-sac|RepMT-SAC]]
- [[task-invariant-representation|任务不变表征]]
- [[multitask-rl|多任务 RL]]
