---
title: "All elementary functions from a single binary operator"
created: 2026-04-16
updated: 2026-04-16
type: paper
tags: [paper, algorithm, concept]
sources: [raw/papers/odrzywolek-eml-single-operator-2026.md]
---

# All elementary functions from a single binary operator

**arXiv:** [2603.21852](https://arxiv.org/abs/2603.21852) [cs.SC]  
**作者:** [[andrzej-odrzywolek]]  
**发表日期:** 2026-03-23 (v1), 2026-04-04 (v2)

## 核心贡献

本文发现了**连续数学中的 Sheffer 算子**：单一二元算子

$$\text{eml}(x,y) = \exp(x) - \ln(y)$$

配合常数 $1$，足以生成科学计算器的所有初等函数。这类似于数字电路中 NAND 门对所有布尔逻辑的完备性。

## 关键结果

### EML 完备性
- **两按钮计算器** (1, eml) 可替代 36 按钮科学计算器
- 生成所有算术运算 ($+,-,\times,/$)、超越函数 ($\sin,\cos,\log,\exp$)、常数 ($e,\pi,i$)
- 例如：$\exp(x) = \text{eml}(x,1)$，$\ln(x) = \text{eml}(1,\text{eml}(\text{eml}(1,x),1))$

### 二叉树语法
每个 EML 表达式是同质节点的二叉树，语法极简：

$$S \to 1 \mid \text{eml}(S,S)$$

这与满二叉树和 Catalan 结构同构。

### 符号回归
- EML 树可作为可训练电路，用 Adam 等优化器进行梯度优化
- 在树深 ≤4 时，可从数值数据中精确恢复闭式初等函数
- 成功率：深度 2 为 100%，深度 3-4 约 25%，深度 5 <1%

## 约化历程

| 配置 | 常量 | 一元 | 二元 | 计数 |
|------|------|------|------|------|
| Base-36 | 8 | 20 | 8 | 36 |
| Wolfram | $\pi,e,i$ | $\ln$ | $+,\times,\wedge$ | 7 |
| Calc 3 | none | $\exp,\ln,-x,1/x$ | $+$ | 6 |
| Calc 2 | none | $\exp,\ln$ | $-$ | 4 |
| Calc 1 | $e$ 或 $\pi$ | none | $x^y,\log_x y$ | 4 |
| Calc 0 | none | $\exp$ | $\log_x y$ | 3 |
| **EML** | **1** | **none** | **eml** | **2** |

## 相关算子

$$\begin{align}
\text{eml}(x,y) &= \exp(x) - \ln(y) & \text{常量 } 1 \\
\text{edl}(x,y) &= \exp(x) / \ln(y) & \text{常量 } e \\
-\text{eml}(y,x) &= \ln(x) - \exp(y) & \text{常量 } -\infty
\end{align}$$

## 复杂度示例

| 函数 | EML 编译器 | 直接搜索 |
|------|-----------|---------|
| $e^x$ | 3 | 3 |
| $\ln x$ | 7 | 7 |
| $x+y$ | 27 | 19 |
| $x\times y$ | 41 | 17 |
| $\pi$ | 193 | >53 |

## 应用方向

1. **EML 编译器** — 将公式编译为纯 EML 形式
2. **模拟电路** — EML 作为模拟计算的基本构建块
3. **符号回归** — 基于梯度优化的"主公式"方法
4. **神经网络可解释性** — 训练权重可"吸附"到精确符号值

## 开放问题

- 是否存在不需要区分常量的二元 Sheffer 算子？
- 是否存在同时作为神经激活函数和初等函数生成器的一元 Sheffer 算子？
- 是否存在具有更好性质（非指数渐近、无定义域问题）的类似算子？

## 相关页面

- [[andrzej-odrzywolek]] — 作者
- [[eml-operator]] — 核心数学概念
