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title: "实对数典范阈值 (Real Log Canonical Threshold, RLCT)"
created: 2026-06-10
updated: 2026-06-10
type: concept
tags: ["singular-learning-theory", "bayesian-statistics", "algebraic-geometry"]
sources: ["[[dead-directions-geometric-singular-learning]]"]
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# 实对数典范阈值 (RLCT, lambda)

**RLCT** 是 [[singular-learning-theory|Watanabe 奇异学习理论]]中主导贝叶斯自由能渐近修正的不变量：

```
F_n = n · S_n + lambda · log n + (m-1) · log log n + O(1)
```

- n: 样本量
- S_n: 经验熵
- **lambda**：实对数典范阈值
- m：重数（multiplicity）

## 几何含义

lambda 是有理数（广中平祐定理的推论），反映奇异集在参数空间中的"尖锐程度"：

- lambda 小 → 奇异集尖锐 → 模型复杂度低 → 更好的泛化
- lambda 大 → 奇异集平坦 → 模型复杂度高

## 与 Dead Direction 的关系

[[dead-directions-geometric-singular-learning|Shirodkar (2026)]] 的核心贡献：对于单 dead direction：

```
lambda = 1/(2k)
```

其中 k 是 [[kl-order|KL 阶]]，可从 Fisher 曲率衰减率计算——在原始坐标中，无需消解。

## 传统计算方式

需要通过广中平祐消解（Hironaka resolution）将奇异集"吹开"——对百万参数网络不可行。Shirodkar 的贡献使 lambda 在原始坐标中可计算。

## 与其他不变量

[[watanabe-triple|Watanabe 三元组]] (lambda, m, nu) 完整刻画了奇异模型的贝叶斯渐近性质。

## 参考
- [[dead-directions-geometric-singular-learning|Dead Directions]]
- [[singular-learning-theory|Singular Learning Theory]]
- [[watanabe-triple|Watanabe's Triple]]
- [[kl-order|KL Order]]
