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title: "Additive Combinatorics（加法组合学）"
created: 2026-05-11
updated: 2026-05-11
type: concept
tags: [number-theory, combinatorics, additive-theory]
sources: [[ramsey-numbers-survey]]
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# Additive Combinatorics（加法组合学）

## 定义

加法组合学是研究整数集（或更一般地，Abel 群）的加法结构的分支，核心问题是：一个集合在何种条件下必然包含特定的加法子结构（如等差数列）。

## 核心结果

| 定理 | 内容 | 年份 |
|------|------|------|
| [[van-der-waerden-theorem|van der Waerden]] | 有限着色下必存在任意长单色等差数列 | 1927 |
| Szemerédi 定理 | 正上密度集包含任意长等差数列 | 1975 |
| [[green-tao-theorem|Green-Tao]] | 素数集包含任意长等差数列 | 2004 |
| 多项式 Freiman-Ruzsa | 小倍增集的代数结构刻画 | 2023 |

## 与 Ramsey 理论的关系

加法组合学可视为算术 Ramsey 理论的密度版本：从"着色"推广到"密度"，从"必然存在"深化为"以什么频率出现"。

## 核心工具

- **Gowers 一致性范数**：度量集合的"伪随机程度"
- **密度增量方法**：迭代提取有序子结构的 Ramsey 论证
- **Furstenberg 对应原理**：转化为动力系统问题

## 相关概念

- [[ramsey-theory|拉姆齐理论]]
- [[green-tao-theorem|Green-Tao 定理]]
- [[furstenberg-correspondence|Furstenberg 对应原理]]
