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title: "Preference Log-Odds"
created: 2026-06-01
updated: 2026-06-01
type: concept
tags: [steering, evaluation, metrics]
sources: [raw/papers/xu-why-steering-works-2026.md]
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# Preference Log-Odds（偏好对数几率）

## 定义

Preference Log-Odds 是 Xu et al. (2026) 引入的度量，在共享 log-odds 尺度上量化 LLM 对目标概念的内在偏好：

$$\text{PrefOdds}(q) = \log \frac{P(p_p | q)}{P(p_n | q)} = L_n - L_p$$

其中 $(A_p, A_n)$ 是极性对比示例对，$L_p = -\log P(A_p|q)$，$L_n = -\log P(A_n|q)$。

## 关键性质

1. **效用无关**：共享效用 $P(u|q)$ 在似然比中抵消，PrefOdds 仅测量偏好
2. **与干预乘子的关系**：在激活流形框架下，$\log\frac{P(p_p)}{1-P(p_p)} = (\alpha_p m + \beta_p)D_p(m) + b_p$
3. **拟合质量**：RQ 衰减模型拟合 R² > 0.95

## 三阶段响应

当 PrefOdds 相对于 $m$ 绘图时：
- 线性区：$\alpha_p m$ 项主导
- 过渡区：$D_p(m)$ 开始下降
- 收敛区：$D_p(m)$ 衰减至很低，PrefOdds 趋于稳定

## 对比：PrefOdds vs UtilOdds

| 属性 | PrefOdds | UtilOdds |
|------|----------|----------|
| 公式 | $L_n - L_p$ | $\log\frac{e^{-L_p}+e^{-L_n}}{1-e^{-L_p}-e^{-L_n}}$ |
| 含义 | 目标概念偏好 | 任务连贯性 |
| 导向方向投影 | α_p m（有） | ≈0（ω_u ⊥ Δh） |
| 衰减依赖 | 投影 × 衰减 | 纯衰减 |

## 相关概念

- [[preference-utility-analysis]] — 度量框架
- [[intervention-multiplier]] — 控制变量 m
- [[validity-decay]] — D(m) 衰减
- [[steering-dynamics]] — PrefOdds 的三阶段行为
- [[xu-why-steering-works]] — 源论文
