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title: "粗糙路径理论 (Rough Path Theory)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [stochastic-analysis, mathematics, path-space, rough-paths]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# 粗糙路径理论 (Rough Path Theory)

粗糙路径理论（Lyons, 1998）是将**随机分析从概率框架中解放**的数学理论——使 Itô 积分和 SDE 可在确定性路径设定中严格处理。

## 核心思想

经典 Itô 积分依赖概率（鞅、适应性等）。粗糙路径理论用**路径的代数量（签名）**替代概率结构：

- 路径 `X : [0,T] → R^d` 被提升为粗糙路径 `X = (X, ∫ X⊗dX, ∫ X⊗dX⊗dX, ...)`
- SDE `dY = f(Y)dX` 可被解释为**确定性映射** `Y = F(X)`
- 连续性（universal limit theorem）：解映射对粗糙路径拓扑连续

## 两个基础组件

### [[signature|签名 (Signature)]]
路径的迭代积分集合 `S(X) = (1, S^1, S^2, ...)` → 路径空间的"坐标"

### 粗糙路径拓扑（p-variation）
`α-Hölder rough paths` 空间 → 捕获路径的不规则程度

## 与经典随机分析的关系

| 概念 | 概率版本 | 粗糙路径版本 |
|------|---------|-------------|
| Itô 积分 | 随机积分 | 粗糙路径积分 |
| SDE | 随机微分方程 | 粗糙微分方程 (RDE) |
| Itô 引理 | 随机链式法则 | 连续性定理 |

## 在加权 UAT 中的应用

[[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 使用粗糙路径理论定义路径空间为**弱几何 α-Hölder rough paths 的流形**，然后在其上证明签名的线性函数可逼近任意路径泛函（含导数）。

## 参考

- [[signature|Signature]]
- [[non-anticipative-functionals|非预期泛函]]
- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]
