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title: "Weighted Universal Approximation of Differentiable Maps on Infinite-Dimensional Manifolds"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: paper
tags: [mathematics, functional-analysis, approximation-theory, neural-networks, rough-paths]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# 无限维流形上可微映射的加权通用逼近

> Philipp Schmocker, Josef Teichmann — 2026
> arXiv: [2606.09820](https://arxiv.org/abs/2606.09820) | math.FA + cs.LG + math.PR + q-fin.MF | 77页

## 核心问题

经典[[universal-approximation-theorem|通用逼近定理（UAT）]]保证神经网络可以在紧集上逼近任意连续函数，但它有两个局限：

1. **只在紧集上**：无法处理随机过程的非紧路径空间
2. **不含导数逼近**：不能逼近可微映射的导数信息

本文将 UAT 推广到**无限维流形上的可微映射**，同时逼近函数值和方向导数，且**不限于紧集**。

## 方法论

### 函数输入神经网络 (FNN)

```
输入 (无穷维流形 M)  →  隐藏层 (R^h, 标量激活 σ)  →  输出 (Banach 空间 Y)
                         ↑ 线性读出层
```

FNN 的数学形式：`NN(x) = Σ c_k · σ(ℓ_k(x))`，其中 `ℓ_k` 是连续线性泛函。

### 加权 Nachbin 定理

核心理论贡献：将经典 [[nachbin-theorem|Nachbin 定理]]（带导数的 Stone-Weierstrass 推广）推广到**加权设置**和**无限维流形**上。

- **权重函数** Ψ 控制函数和导数在大紧集外的增长
- 通过 [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]] 适配 σ-紧空间
- **有界逼近性质（BAP）** 将有限维结果提升到无穷维

### 两大应用

1. **[[non-anticipative-functionals|非预期泛函]]**：包括水平导数和垂直导数的逼近 → 随机过程/随机微分方程
2. **[[signature|签名 (Signature)]]** 的线性函数 → 逼近路径空间泛函及其方向导数

## 理论贡献

| 定理 | 内容 |
|------|------|
| Nachbin 定理（§3） | 加权子代数稠密 ↔ 分离点 + 非消没 + 包含导数 |
| FNN UAT（§4） | FNN 在加权可微函数空间中稠密 |
| 非预期 UAT（§5） | 逼近非预期泛函的水平/垂直导数 |
| Signature UAT（§6） | Signature 线性函数逼近路径泛函 + 导数 |

## 数值实验

两个数值例子验证理论：FNN 在加权设置下逼近可微映射。

## 与机器学习的关系

这是一篇 **math.FA 核心论文**——为 neural operators（DeepONets、FNO 等）和 signature methods 提供严格的数学基础。77页的完全自包含证明不依赖数值启发式。

## 参考

- [[functional-input-neural-networks|FNN]]
- [[universal-approximation-theorem|UAT]]
- [[nachbin-theorem|Nachbin 定理]]
- [[signature|Signature]]
- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
- 来源：[原始存档](raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md)
