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title: "Stein 引理"
created: 2026-06-22
updated: 2026-06-22
type: concept
tags: [mathematics, probability, statistics]
sources: [nano-filter]
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# Stein 引理

Stein's lemma 是概率论中一个优雅的结果：对于联合高斯分布的随机变量，协方差可以通过期望的导数来计算。

## 基本形式

若 $(x, y)$ 服从联合高斯分布，且 $f$ 是几乎处处可微的函数，则：

$$
\text{Cov}(x, f(y)) = \text{Cov}(x, y) \cdot E[f'(y)]
$$

## 在 NANO 中的应用

[[nano-filter|NANO filter]] 利用 Stein 引理将 Bayesian 滤波中的预测步和更新步的最优性条件转化为解析形式。具体地，Stein 引理允许将对数似然期望的梯度转化为可计算的矩表达式，从而将两个变分问题约化为有限维优化问题。

## 参考
- [[gaussian-filtering|Gaussian Filtering]]
- [[nano-filter|NANO Filter]]
