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title: "Spherical Harmonic Features (球谐特征)"
created: 2026-07-10
updated: 2026-07-10
type: concept
tags: ["spherical-harmonics", "directional-statistics", "harmonic-analysis", "gid"]
sources: ["[[gid-sphere-2026|GID (You, 2026)]]"]
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# Spherical Harmonic Features (球谐特征)

在 [[geometric-information-decomposition|GID]] 中，嵌套特征空间 V_L 的标准选择是**完备球谐度空间**。

## 构造

在 S^{d-1} 上，球谐函数按**度** (degree) 组织：

```
V_L = span{ 所有球谐函数 up to degree L }
```

- V₀ = {0}（均匀分布）
- V₁ = 线性球谐 — dim = d — 捕获平均方向
- V₂ = 二次球谐 — dim = d(d+1)/2 - 1 — 捕获轴性、椭圆度
- V₃+ = 三次及以上 — 捕获多模态

## 关键性质

### 旋转不变性

完备球谐度空间在旋转群 SO(d) 作用下闭合 → GID 分解**旋转不变**：

```
D_L(g_#P) = D_L(P),  I_L(g_#P) = I_L(P),  ∀g ∈ SO(d)
```

### 维度扩展

| d | dim(V₁) | dim(V₂) | dim(V₃) |
|---|---------|---------|---------|
| 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 5 | 7 |
| 10 | 10 | 54 | 154 |
| 100 | 100 | 5049 | 166649 |

高维场景（如嵌入向量 d ≥ 100）中，完全球谐拟合在计算上不可行 → GID 支持**结构化/投影特征空间**作为替代。

## 与其他基的关系

GID 明确设计为**基无关**的——任何满足连续性和嵌套条件的函数空间均可使用。球谐之所以被推荐，是因为：
1. 旋转不变性
2. 清晰的度数→几何结构对应
3. 前两级与已知方向分布（vMF、Fisher-Bingham）精确对齐

## 参考

- [[geometric-information-decomposition|GID]]
- [[maximum-entropy-projection|Maximum Entropy Projection]]
- [[information-gap|Information Gap]]
