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title: "线性化神经网络 (Linearized Neural Network)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [deep-learning, theory, neural-networks, ntk]
sources: [raw/papers/tiwari-ticks-to-flows-2026.md]
confidence: high
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# 线性化神经网络 (Linearized Neural Network)

线性化 NN 是将神经网络在**初始参数附近进行一阶 Taylor 展开**的理论工具，是 [[infinite-width-limit|无限宽度理论]] 的核心技术。

## 形式

对于两层的 actor 网络 `F(s; W)`，在初始化 `W^0` 附近线性化：

```
F_lin(s; W) = F(s; W^0) + Φ(s; W^0)(W - W^0)
```

其中 `Φ(s; W^0)` 是 Jacobian（tangent features），包含每个隐藏神经元的衍生特征：

```
Φ_κ(s; W^0) = C_κ^0 φ'(W_κ^0 · s) s^T
```

## 关键性质

1. **W 线性**：输出是参数 W 的线性函数（但非输入 s 的线性函数）
2. **特征固定**：tangent features Φ 在训练中不变化 → **lazy regime**
3. **高斯输出**：在大宽度下，输出近似服从高斯分布（by CLT）
4. **梯度简便**：梯度更新公式大幅简化

## 为什么用线性化

在 [[ticks-to-flows|Ticks-to-Flows]] 的证明中，线性化使得：

- 状态 `s̃_{t,τ}` 可以表示为参数 `W^τ - W^0` 的**多项式**（通过 [[ito-calculus|Itô-Taylor 展开]]）
- 梯度更新公式（Equation 5）在参数空间中闭合
- [[martingale-clt|鞅 CLT]] 可应用于条件高斯极限的推导

## 与 NTK 的关系

在大宽度下，线性化模型的 kernel 趋近于 [[neural-tangent-kernel|Neural Tangent Kernel (NTK)]]：

```
K(s, s') = E[Φ(s; W^0) · Φ(s'; W^0)]
```

NTK 描述了参数梯度之间的点积，决定了训练的动力学。

## 局限性

- Lazy training：特征不演化，限制了表征学习
- 需要 `η = O(1/sqrt(n))` 的小学习率
- 实际应用中不完全成立（特征学习是深度学习的关键优势）

## 参考

- [[neural-tangent-kernel|NTK]]
- [[infinite-width-limit|无限宽度极限]]
- [[ticks-to-flows|Ticks to Flows]]
