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title: "Gibbs 后验"
created: 2026-06-22
updated: 2026-06-22
type: concept
tags: [robust-statistics, bayesian-inference, model-misspecification]
sources: [nano-filter]
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# Gibbs 后验

Gibbs posterior 是标准 Bayesian 后验的推广，用于处理模型误设（model misspecification）场景。当真实数据生成过程与假定的似然模型不匹配时，Gibbs 后验用广义损失函数 $\ell_G(x_t, y_t)$ 替代负对数似然 $-\log p(y_t | x_t)$。

## 定义

Gibbs 后验是以下变分问题的解：
$$
p_G(x_t | y_{1:t}) = \arg\min_{q} \left\{ E_{q(x_t)}[\ell_G(x_t, y_t)] + D_{KL}(q(x_t) \| p(x_t | y_{1:t-1})) \right\}
$$

解析形式：
$$
p_G(x_t | y_{1:t}) = \frac{\exp\{-\ell_G(x_t, y_t)\} p(x_t | y_{1:t-1})}{\int \exp\{-\ell_G(x_t, y_t)\} p(x_t | y_{1:t-1}) dx_t}
$$

## NANO 的鲁棒扩展

[[nano-filter|NANO filter]] 的推导仅依赖损失函数的一般形式，因此自然地支持 Gibbs 后验框架。论文提供两种损失函数选择：
- **Huber 损失 / [[pseudo-huber-loss|Pseudo-Huber 损失]]**：对大残差以线性而非二次增长，抑制离群值影响
- **加权对数似然**：通过数据依赖权重 $w(x_t, y_t)$ 缩放似然贡献

## 参考
- [[bayesian-filtering|Bayesian Filtering]]
- [[pseudo-huber-loss|Pseudo-Huber Loss]]
- [[nano-filter|NANO Filter]]
