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title: "Geometric Ramsey Theory（几何拉姆齐理论）"
created: 2026-05-11
updated: 2026-05-11
type: concept
tags: [geometry, combinatorics, discrete-geometry]
sources: [[ramsey-numbers-survey]]
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# Geometric Ramsey Theory（几何拉姆齐理论）

## 定义

几何拉姆齐理论研究欧几里得空间中点集的着色与必然出现的几何子结构。经典的"幸福结局问题"（Happy Ending Problem）是该领域的起点。

## 幸福结局问题（Erdős-Szekeres 1935）

对任意整数 m ≥ 3，存在最小的 N(m)，使得平面上任意 N 个一般位置的点中必有 m 个点构成凸 m 边形。

**上界**：N(m) ≤ C(2m-5, m-2) + 1

## 相关定理

- **van der Waerden 定理**：任意整数着色下存在任意长单色等差数列
- **Szemerédi 定理**（密度版本）：正上密度集包含任意长等差数列
- **Green-Tao 定理**：素数集包含任意长等差数列

## 方法特色

几何 Ramsey 问题通常通过组合论证与几何约束的结合来解决，与经典图 Ramsey 的方法既有重叠又有本质差异。

## 相关概念

- [[ramsey-theory|拉姆齐理论]]
- [[van-der-waerden-theorem|van der Waerden 定理]]
- [[green-tao-theorem|Green-Tao 定理]]
