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title: "Probabilistic Method（概率方法）"
created: 2026-05-11
updated: 2026-05-11
type: concept
tags: [combinatorics, probability, proof-technique]
sources: [[ramsey-numbers-survey]]
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# Probabilistic Method（概率方法）

## 定义

概率方法是 Paul Erdős 于 1947 年引入的证明技术：为证明具有某种性质的组合对象存在，构造一个概率空间，并证明该对象以正概率满足性质——由此推出存在性，无需显式构造。

## 在 Ramsey 理论中的应用

对 K_n 的边进行随机二色着色（每条边独立以 1/2 概率染红），计算出现单色 K_k 的期望数量。当该期望 < 1 时，存在无单色 K_k 的着色 → R(k) > n。

**结果**：R(k) > 2^{k/2}——这一下界至今未被构造性方法超越。

## 核心推广

**[[lovasz-local-lemma|Lovász 局部引理]]**（1975）：处理大量相关事件同时不发生的情形，在 Ramsey 理论中用于证明更强的存在性结果。

## 历史意义

概率方法不仅解决了 Ramsey 问题，还催生了整个 [[random-graph-theory|随机图理论]]（Erdős-Rényi 模型），深刻改变了组合数学的方法论——从"构造"到"证明存在"的范式转变。

## 相关概念

- [[ramsey-theory|拉姆齐理论]]
- [[lovasz-local-lemma|Lovász 局部引理]]
- [[random-graph-theory|随机图理论]]
- [[random-sphere-graph|随机球面图]] — 几何推广 (2026)
