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title: "参数化映射 (Parametrization Map)"
created: 2026-06-10
updated: 2026-06-10
type: concept
tags: ["neuroalgebraic-geometry", "neural-networks", "function-spaces"]
sources: ["[[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity]]"]
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# 参数化映射 (Parametrization Map)

**参数化映射** Phi: R^M -> C^0(R^d0) 是将网络权重映射到其实现函数的映射：

```
Phi(w) = f_w
```

其中 w 是权重，f_w 是网络实现的函数。

## 核心性质

1. **非单射**：多个权重映射到同一函数 → [[fiber-of-parametrization|纤维]]非平凡
2. **非满射**：并非所有连续函数都可被网络表示
3. **连续分段线性**（ReLU）：像在 PL 函数空间中
4. **点态半代数性**（Lemma 7）：逐点评价值是半代数函数

## 在神经代数几何中的角色

参数化映射是[[neuroalgebraic-geometry|神经代数几何]]的核心研究对象：

- **等价关系** E_Phi：{(v,w) | Phi(v) = Phi(w)} 决定参数的冗余
- **商问题**：R^M / E_Phi 能否赋予[[semi-algebraic-set|半代数]]结构？
- **纤维维度**：过参数化的程度的几何度量

## 训练视角

训练实际在复合映射上进行：
```
R^M --Phi--> M_d --Loss--> R
```

关键问题：R^M 中的临界点是否也是 M_d 中的临界点？通常不是！这就是虚假临界点问题。

## 参考
- [[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity|ReLU Neuromanifolds]]
- [[neuromanifold|Neuromanifold]]
- [[fiber-of-parametrization|Fiber]]
- [[neuroalgebraic-geometry|Neuroalgebraic Geometry]]
