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title: "余弦相似度几何 (Cosine Similarity Geometry)"
created: 2026-07-04
updated: 2026-07-04
type: concept
tags: [geometry, embedding, vlm, similarity]
sources: []
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# 余弦相似度几何 (Cosine Similarity Geometry)

VLM 将图像和文本嵌入映射到单位球 $S^{d-1}$ 上，此时欧氏内积等价于余弦相似度。这一几何结构是 VLM 分类和语义分析的基础。

## 关键性质

- **单位球约束**：所有嵌入 $\|e\|_2 = 1$
- **相似度 ≡ 内积**：$\langle z, u \rangle = \cos(\theta_{z,u})$
- **语义强度**：嵌入与语义向量 $v_a$ 的内积 $\langle e, v_a \rangle$ 可解释为语义 $a$ 的强度

## 语义平面

对于一对语义 $(a, a')$，其文本嵌入 $u_a, u_{a'}$ 张成的二维子空间 $P_{a,a'} = \text{span}\{u_a, u_{a'}\}$ 称为语义平面（[[semantic-plane]]）。语义变化可在该平面内参数化。

## 加性语义 (Additive Semantics)

若查询嵌入 $e = \sum_i \alpha_i v_{a_i}$ 可分解为语义向量的线性组合，则其对各语义的强度也呈加性分解：
$$D_a(e) = \sum_i \alpha_i D_a(v_{a_i})$$

该性质来自内积的双线性，是 VLM 嵌入空间区别于普通神经网络的关键特征（[[additive-semantics]]）。

## 参考

- [[vision-language-models|VLM]]
- [[dual-encoder-vlm|双编码器 VLM]]
- [[semantic-plane|语义平面]]
- [[additive-semantics|加性语义]]
- [[voronoi-decision-regions|Voronoi 决策区域]]
