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title: "无穷层级体系 (Infinity Hierarchy)"
created: 2026-06-07
updated: 2026-06-07
type: concept
tags: [集合论, 无穷, 数学基础]
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# 无穷层级体系

无穷并非单一的概念——存在不同大小的无穷，它们构成一个严格的层级结构。这一发现由 [[georg-cantor|康托尔]] 和 [[richard-dedekind|狄德金]] 在1870年代共同奠定。

## 核心发现

### 第一层：可数无穷

自然数集、整数集、有理数集、[[algebraic-numbers-countability|代数数集]]的大小相同——它们是"可数的"。即这些集合中的元素可以与自然数一一对应。

狄德金证明了**代数数的可数性**（1873年），这是该层级体系的第一个关键组成部分。

### 第二层：不可数无穷

实数集、无理数集的大小严格大于可数无穷——它们是"不可数的"。康托尔独立证明了**实数的不可数性**（1874年）。

## 关键概念

- **可数集**：能与自然数建立一一对应的集合
- **不可数集**：元素"多于"自然数的集合
- **连续统**：实数的势（cardinality），记作 $\mathfrak{c}$ 或 $2^{\aleph_0}$
- **连续统假设**：是否存在严格介于可数无穷和连续统之间的无穷？这是希尔伯特23个问题中的第一问

## 历史意义

在1874年之前，数学家视无穷为数学的"毒瘤"，回避所有涉及无穷的实质讨论。康托尔和狄德金的工作**将无穷从修辞手法转化为真正的数学对象**，开创了 [[set-theory-history|集合论]] 这一全新领域。

## 相关条目

- [[countable-uncountable-infinity|可数与不可数无穷]]
- [[algebraic-numbers-countability|代数数的可数性]]
- [[set-theory-history|集合论史]]
- [[georg-cantor|格奥尔格·康托尔]]
- [[richard-dedekind|里夏德·狄德金]]
