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title: "Difficulty-Balanced Group Advantage Estimation (DGAE)"
created: 2026-05-12
updated: 2026-05-12
type: concept
tags: ["grpo", "advantage-estimation", "reinforcement-learning"]
sources: ["arxiv:2601.20614"]
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# Difficulty-Balanced Group Advantage Estimation (DGAE)

**DGAE** 是 [[dgpo|DGPO]] 的核心技术之一，通过将 GRPO 优势估计中的 std 分母替换为 MAD（平均绝对偏差），实现**难度平衡**的更新幅度。

## 公式对比

**GRPO (GRAE)**：
$$\hat{A}_{GR,i} = \frac{r_i - \text{mean}(\{r_i\})}{\text{std}(\{r_i\})}$$

**DGAE**：
$$\hat{A}_{DG,i} = \frac{r_i - \text{mean}(\{r_i\})}{\text{MAD}(\{r_i\})}, \quad \text{MAD}(\{r_i\}) = \frac{1}{G}\sum_{j=1}^{G}|r_j - \text{mean}(\{r_i\})|$$

## 关键定理

**Theorem 2**：使用 DGAE 时，单个问题的总更新幅度（无裁剪）恒为：

$$\sum_{i=1}^{G} |\hat{A}_{DG,i}| = G$$

与奖励分布无关——无论准确率 p 是多少，更新幅度恒定。

**对比 Theorem 1**（GRPO）：总更新幅度 $\propto 2G\sqrt{p(1-p)}$，在 p=0.5 时最大。

## 为什么 MAD 优于 std？

- **std** 引入 $\sqrt{p(1-p)}$ 因子 → 更新幅度依赖准确率 → [[update-magnitude-imbalance|难度不平衡]]
- **MAD = 2p(1-p)** 对于二元奖励 → 恰好消除 $p(1-p)$ 因子 → 难度平衡
- MAD 的线性性质（vs std 的平方根）使得归一化后的总更新幅度恒定

## 泛化性

Theorem 2 **不要求奖励为二元值**（ri ∈ {0,1}），适用于任意奖励函数。这意味着 DGAE 可以用于更广泛的 RLVR 场景（如带 length penalty 的复合奖励）。

## 相关概念

- [[dqw|DQW]] — 第二步：难度加权
- [[dgpo|DGPO]] — 算法整体
- [[update-magnitude-imbalance]] — 被解决的问题
- [[grpo]] — 基线方法
- [[dai-mathforge-2026|论文页面]]
