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title: "Diagonal Ramsey Number（对角拉姆齐数）"
created: 2026-05-11
updated: 2026-05-11
type: concept
tags: [combinatorics, graph-theory]
sources: [[ramsey-numbers-survey]]
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# Diagonal Ramsey Number（对角拉姆齐数）

## 定义

对角拉姆齐数 R(k) = R(k,k)，即保证任意二色边着色下必存在单色 k-团的最小顶点数。它是 [[ramsey-numbers|拉姆齐数]] 中最核心的研究对象。

## 对称性与困难

对角情形的对称性使其在数学上最为优美，但也最难处理。对称性消除了非对角情形中可利用的结构差异，使得传统的递归估计方法效果有限。

## 关键结果

| k | R(k) | 关键突破 |
|---|------|----------|
| 3 | 6 | 鸽巢原理直接证明 |
| 4 | 18 | Paley 图 P₁₇ 提供下界 |
| 5 | 43–48 | McKay-Radziszowski 计算机辅助上界 |
| 6 | 102–165 | 差距近 50% |

## 核心猜想

1. **渐近阶**：R(k) 的真实增长指数 c ∈ [√2, 4]，多数研究者认为更接近下界
2. **R(5) = 43?**：McKay & Radziszowski 的猜想，尚无决定性证据
3. **指数改进**：Conlon(2023) 首次将上界底数从 4 略微降低

## 相关概念

- [[ramsey-numbers|拉姆齐数]]
- [[probabilistic-method|概率方法]]
- [[paley-graph|Paley 图]]
