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title: "Ramsey Numbers（拉姆齐数）"
created: 2026-05-11
updated: 2026-05-11
type: concept
tags: [combinatorics, graph-theory, extremal-combinatorics]
sources: [[ramsey-numbers-survey]]
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# Ramsey Numbers（拉姆齐数）

## 定义

拉姆齐数 R(r,s) 是满足以下性质的最小正整数 n：对完全图 K_n 的任意红蓝二色边着色，必然包含一个红色 K_r 或一个蓝色 K_s。

等价表述：任意 n 顶点图或其补图中必含 r-团或 s-独立集的最小 n。

## 核心性质

- **对称性**：R(r,s) = R(s,r)
- **边界**：R(k,2) = k
- **递归上界**：R(r,s) ≤ R(r-1,s) + R(r,s-1)（鸽巢原理）

## 已知精确值

| k | R(k) | 来源 |
|---|------|------|
| 3 | 6 | 聚会问题 |
| 4 | 18 | Greenwood-Gleason 1955 |
| 5 | 43-48 | Exoo(↓), McKay-Radziszowski(↑) |
| 6 | 102-165 | 精确值未知 |

## 一般界

- **下界**（Erdős 1947）：R(k) > 2^{k/2}
- **上界**（Conlon 2009）：R(k) ≤ 4^k / √k
- **指数鸿沟**：底数 √2（≈1.414）到 4 的差距是核心未解决问题
- **下界突破**（Ma-Shen-Xie 2026）：对 r(ℓ, Cℓ) 首次实现指数级改进，引入 [[random-sphere-graph|随机球面图]] 方法；一般情形 r(ℓ,k) ≥ (1+2c_δ)^ℓ · Er(ℓ,k)

## 非平凡渐近阶

R(3,k) = Θ(k²/log k) 是少数渐近阶已完全确定的例子（Ajtai-Komlós-Szemerédi 1980 + Kim 1995）。

## 相关概念

- [[diagonal-ramsey-number|对角拉姆齐数]]
- [[ramsey-theory|拉姆齐理论]]
- [[hypergraph-ramsey-number|超图拉姆齐数]]
- [[ramsey-sphere-lowerbound|指数下界改进 (2026)]]
