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title: "签名 (Signature of Paths)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [rough-paths, stochastic-analysis, representation-learning, signature-methods]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# 签名 (Signature of Paths)

签名是**路径的泛函多项式基**——可以理解为路径空间上的"Taylor 展开"或"非交换多项式"。[[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 证明签名的线性函数可以逼近任意路径泛函（含导数）。

## 定义

对路径 `X : [0,T] → R^d`，其截断到 K 阶的签名为：

```
S^K(X) = (1, S^1, S^2, ..., S^K)

其中 S^k(X) = ∫_{0≤t_1<...<t_k≤T} dX_{t_1} ⊗ ... ⊗ dX_{t_k}
```

一阶：增量向量 `X_T - X_0`
二阶：Lévy 面积 / 路径围成的面积
高阶：高阶迭代积分

## 核心性质

1. **泛函逼近**：任意连续路径泛函可被签名的线性函数任意逼近（类似多项式逼近连续函数）
2. **对重参数化不变**：签名对时间重参数化不变（捕获几何信息）
3. **特征唯一性**：rough paths 被其签名唯一确定

## 论文中的推广

Schmocker & Teichmann 证明了加权版本的 Signature UAT：

- 线性签名函数在**加权路径空间**中稠密
- **同时逼近泛函值及其方向导数**
- 逼近在**整个路径空间**上成立，不含紧限制

## Rough Path 理论

签名是 [[rough-path-theory|粗糙路径理论]]（Lyons, 1998）的中心概念——使 Itô 积分和 SDE 理论可在确定性路径设定中严格表述。

## 机器学习的应用

- **Signature Methods**：将不规则时序数据映射为固定长度特征
- **Log-Signature**：签名的对数，更低维度
- **Neural SDEs / Deep Signature Transforms**

## 参考

- [[rough-path-theory|粗糙路径理论]]
- [[non-anticipative-functionals|非预期泛函]]
- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]
