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title: "Shape Operator (形状算子)"
created: 2026-07-10
updated: 2026-07-10
type: concept
tags: ["differential-geometry", "curvature", "information-geometry"]
sources: ["[[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]", "do Carmo (2017)"]
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# Shape Operator (形状算子)

**Shape Operator**（Weingarten 映射）是微分几何中的基本对象，通过第一和第二基本形式的组合量化曲面局部的弯曲程度。

## 形式定义

设 M 是配备第一基本形式 G(θ) 和第二基本形式 B(θ) 的正则流形：

```
S(θ) = -B(θ) G(θ)^{-1}
```

几何上，S 测量单位法向量沿切方向移动时的变化率。其**特征值**为主曲率，**行列式**为高斯曲率，**迹的一半**为平均曲率。

## 在 CuBAS 中

在 Potts MRF 模型中，统计流形仅由 β 一维参数化 → shape operator 退化为标量：

```
S_i(β) = -Ψ_i(β) / (Φ_i(β) + λ)
```

其中：
- Ψ_i(β) 是节点 i 的局部二阶 [[observed-fisher-information|Fisher 信息]]
- Φ_i(β) 是节点 i 的局部一阶 Fisher 信息

该标量直接度量每个节点的**统计曲率**——高曲率对应决策边界附近、低曲率对应簇内部。

## 与其他曲率概念的区别

| 概念 | 计算对象 | 用途 |
|------|---------|------|
| Shape Operator | 统计流形（Fisher 信息诱导） | 信息量度量 |
| [[curvature-based-adaptive-sampling|CuBAS 曲率]] | 带标签 k-NN 图 | 样本筛选 |
| Ricci Curvature (Ollivier) | 图边的 transport 距离 | 图结构分析 |

## 参考

- [[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]
- [[statistical-manifold|Statistical Manifold]]
- [[information-geometry|Information Geometry]]
