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title: "函数输入神经网络 (Functional Input Neural Network)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [neural-networks, functional-analysis, approximation-theory, infinite-dimensions]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# 函数输入神经网络 (Functional Input Neural Network)

FNN 将经典神经网络从**有限维欧氏空间推广到无限维空间**——输入定义在无穷维[[infinite-dimensional-manifolds|加权流形]]上，输出落在 [[banach-space|Banach 空间]]中。

## 数学形式

```
NN(x) = Σ_{k=1}^h c_k · σ(ℓ_k(x)),   x ∈ M
```

- `ℓ_k : M → R`：连续线性泛函（第一层"权重"被泛函替代）
- `σ : R → R`：标量非线性激活函数（如 sigmoid、tanh）
- `c_k ∈ Y`：线性读出系数（输出在 Banach 空间 Y 中）
- h：隐藏神经元数

## 与经典 NN 的区别

| 维度 | 经典 NN | FNN |
|------|--------|-----|
| 输入空间 | R^n | 无限维流形 M |
| 第一层 | 矩阵乘法 Wx | 线性泛函 ℓ(x) |
| 输出空间 | R^m | Banach 空间 Y |
| 隐藏层宽度 | 有限 | 有限（标量激活） |

## 为什么需要加权设置

随机过程的实现**几乎必然不落在紧集中**。加权 UAT 通过权重函数 Ψ 控制函数在大紧集外的增长，确保全局逼近——这对 SDE 解的逼近至关重要。

## 参考

- [[universal-approximation-theorem|UAT]]
- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]
