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title: "Fisher Width (Fisher 宽度)"
created: 2026-06-23
updated: 2026-06-23
type: concept
tags: ["information-geometry", "complexity-measure", "high-dimensional-probability", "riemannian-geometry"]
sources: ["[[vu-fisher-width-2026]]", "https://arxiv.org/abs/2606.18306"]
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# Fisher Width (Fisher 宽度)

**Fisher width** 是 [[gaussian-width|Gaussian width]] 在[[statistical-manifold|统计流形]]上的 Fisher-几何对应物。

## 定义

设 θ₀ ∈ Θ 为参数点，G(θ₀) 为 [[fisher-information-metric|Fisher 信息矩阵]]，T ⊂ ℝᵈ 为紧集。Fisher width 定义为：

```
w_G(T; θ₀) = E_{g∼N(0,I_d)} [sup_{v∈T} ⟨g, G(θ₀)^{1/2} v⟩]
```

核心操作：用 G(θ₀)^{1/2} 对方向进行 Fisher 重标度——统计上敏感的方向贡献更大的宽度权重。

## 与 Gaussian Width 的关系

通过 [[lifting-identity|Lifting Identity]]：

```
w_G(T; θ₀) = w(G(θ₀)^{1/2} T)
```

Fisher width 恰好是 Fisher 重标度后集合的 Gaussian width。

**谱比较界**：
```
λ_min(G)^{1/2} · w(T) ≤ w_G(T) ≤ λ_max(G)^{1/2} · w(T)
```

当 G(θ₀) = I_d 时，Fisher width 退化为经典 Gaussian width。

## 关键性质

1. **再参数化不变性**：在平滑坐标变换下 Fisher width 不变
2. **局部性**：依赖基点 θ₀，随参数位置在统计流形上变化
3. **继承性**：通过 Lifting Identity 继承 Gaussian width 的所有结构性质（单调性、齐次性、凸包不变、次可加性）
4. **浓度**：满足与 Gaussian width 类似的浓度不等式
5. **扰动稳定性**：对局部 Fisher 度量的扰动具有 Lipschitz 连续性

## 在泛化理论中的应用

对 [[fisher-lipschitz|Fisher-Lipschitz]] 假设类，Fisher width 控制一致偏差：

```
E[sup_θ |Ê[f_θ] − E[f_θ]|] ≲ w_G(Θ−Θ; θ₀) / √n
```

这是 Gaussian width 在学习理论中角色的 Fisher-几何对应。

## 计算

[[empirical-fisher|Empirical Fisher]] 使得 Fisher width 可以在实践中估计，包括全经验 Fisher 估计器、低秩近似（利用 Fisher 谱快速衰减）、以及针对特定集合的特化估计。

## 参考

- [[vu-fisher-width-2026|Vu (2026) 论文]]
- [[gaussian-width|Gaussian Width]]
- [[statistical-manifold|Statistical Manifold]]
- [[fisher-information-metric|Fisher Information Metric]]
- [[lifting-identity|Lifting Identity]]
- [[fisher-lipschitz|Fisher-Lipschitz]]
- [[empirical-fisher|Empirical Fisher]]
