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title: "Structured State Space Models (S4)"
created: 2026-06-18
updated: 2026-06-18
type: concept
tags: ["ssm", "s4", "sequence-modeling", "lti"]
sources: ["https://arxiv.org/abs/2312.00752"]
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# Structured State Space Models (S4)

## 定义

Structured State Space Models（S4）是 Mamba 的前身，由 Gu, Goel & Ré (2022) 提出。S4 是一类通过**结构化隐状态**实现序列建模的架构，结合了 RNN 的循环计算和 CNN 的并行卷积计算，具有线性或近线性复杂度。

## 数学形式

S4 通过四个参数 (Δ, A, B, C) 定义序列变换：

**连续形式**：
```
h'(t) = A h(t) + B x(t)
y(t) = C h(t)
```

**离散化后（ZOH 规则）**：
```
A_bar = exp(Δ A)
B_bar = (Δ A)^(-1) (exp(Δ A) - I) · Δ B
```

**两种计算模式**：

| 模式 | 公式 | 用途 |
|------|------|------|
| 循环 | h_t = A_bar h_{t-1} + B_bar x_t; y_t = C h_t | 推理（单步 O(1)） |
| 卷积 | K = (CB, CAB, CA²B, ...); y = x * K | 训练（并行） |

## 核心性质：线性时间不变（LTI）

S4 的关键性质是 **LTI**：参数 (A, B, C, Δ) 对所有时间步**完全相同**。这带来了两个好处：
- 训练可用 FFT 卷积（O(n log n)）
- 推理可用循环（每步 O(1)）

但也带来了根本限制：**无法进行内容感知的选择性处理**。

## HiPPO 矩阵

S4 使用 [[hippo|HiPPO]]（High-order Polynomial Projection Operators）初始化 A 矩阵，使模型天然具备长距离记忆的归纳偏置。

## 从 S4 到 S6

Mamba 的贡献正是**去除 LTI 约束**：
- S4 的 B, C, Δ 是固定参数
- S6 的 B_t, C_t, Δ_t 是 x_t 的函数 → 获得选择性 → 牺牲卷积模式 → 需硬件感知算法补偿

## 相关概念

- [[selective-state-space]] — S6，S4 的选择性升级版
- [[hippo]] — S4 的数学基础
- [[hardware-aware-algorithm]] — 去掉卷积后的高效补偿
- [[state-space-models]] — SSM 家族总览
- [[gu-mamba|Mamba 论文]]

## 参考

- S4 (Gu, Goel & Ré, 2022)
- [[gu-mamba|Mamba]] (Gu & Dao, 2024)
