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title: "矩匹配滤波"
created: 2026-06-22
updated: 2026-06-22
type: concept
tags: [filtering, state-estimation, moment-matching]
sources: [nano-filter]
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# 矩匹配滤波

Moment-matching filter 是 [[gaussian-filtering|Gaussian filtering]] 中用于预测步的一类方法。核心理念：用高斯分布的前两阶矩（均值和协方差）来近似状态分布。

## 最优性基础

根据 [[nano-filter|NANO]] 论文的 Lemma 1，最大期望高斯似然问题的驻点恰好是矩匹配：

$$
\mu^* = E_{p(x)}[x], \quad \Sigma^* = E_{p(x)}[(x - \mu^*)(x - \mu^*)^\top]
$$

这意味着对预测步而言，矩匹配就是最优 Gaussian 近似。

## 数值实现

对于非线性函数 $f(x)$ 在 Gaussian 分布下的期望，无法解析计算，需数值方法：
- **无迹变换**（UKF）——确定性 sigma 点采样
- **Gauss–Hermite 积分**（GHKF）——高斯加权积分
- **球面求积**（CKF）——球面-径向分解

## 与 NANO 的关系

[[nano-filter|NANO filter]] 的预测步延续矩匹配方法（等价于 UKF/CKF 的做法），但在更新步用 [[natural-gradient-descent|自然梯度下降]]替换了线性化——这是 NANO 与已有 Gaussian filter 的根本区别。

## 参考
- [[gaussian-filtering|Gaussian Filtering]]
- [[unscented-kalman-filter|UKF]]
- [[nano-filter|NANO Filter]]
