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title: "Lipschitz Continuity: 利普希茨连续性"
created: 2026-06-25
updated: 2026-06-25
type: concept
tags: [mathematics, functional-analysis, stability, deep-learning-theory]
sources: ["[[sen-mapping-networks]]"]
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# Lipschitz Continuity (利普希茨连续性)

Lipschitz Continuity 是函数分析中的基本概念：函数 f 满足 Lipschitz 条件，若存在常数 L ≥ 0 使得对所有 x₁, x₂：

$$\|f(x_1) - f(x_2)\| \leq L \|x_1 - x_2\|$$

L 称为 Lipschitz 常数，衡量 f 对输入变化的敏感度上限。

## 在 Mapping Networks 中的角色

[[mapping-theorem|Mapping Theorem]] 要求两个 Lipschitz 条件：

1. **参数光滑性 (A1)**：θ → f_θ(x) 是 L_θ-Lipschitz → 参数小变化不导致输出大变化
2. **损失 Lipschitz (A2)**：L(·, y) 是 L_ℓ-Lipschitz → 损失函数本身连续

组合条件：|L(θ₁) − L(θ₂)| ≤ L_ℓ L_θ ‖θ₁ − θ₂‖，确保参数误差在损失函数上的放大有界。

## Stability Loss 的直接体现

[[mapping-loss|Mapping Loss]] 中的 Stability Loss 显式强制隐空间中的局部 Lipschitz 连续性：

$$L_{\text{stab}} = \mathbb{E}_\epsilon\left[\|f(z+\epsilon) - f(z)\|^2\right]$$

小扰动 ε ∼ N(0, σ²I) 不应导致输出大偏离。

## 更广泛的 ML 应用

- **对抗鲁棒性**：小输入扰动 → 小输出变化
- **泛化理论**：Lipschitz 常数与泛化误差界相关
- **谱归一化**：约束网络的 Lipschitz 常数

## 参考

- [[mapping-theorem]]
- [[mapping-loss]]
- [[weight-manifold-hypothesis]]
