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title: "First Lyapunov Coefficient (第一Lyapunov系数)"
created: 2026-06-23
updated: 2026-06-23
type: concept
tags: [bifurcation-theory, dynamical-systems, gradient-descent, EoS, stability]
sources: [gan-bifurcation-eos]
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# First Lyapunov Coefficient (第一Lyapunov系数)

第一 Lyapunov 系数 c₁ 是决定 **[[flip-bifurcation|flip 分岔]]** 超临界/亚临界性质的标量。它是 EoS 稳定性的**核心判据**。

## 定义

对离散动力系统 x_{t+1} = f(x_t)，设 A = Df(x₀) 具有简单临界特征值 λ = -1，u、v 为相应左/右特征向量（⟨u,v⟩ = 1）。则第一 Lyapunov 系数为：

```
c₁ = (1/6)·⟨u, C[v]³⟩ - (1/2)·⟨u, B[v][h]⟩
```

其中 B、C 为 f 在 x₀ 处的二阶/三阶导数张量，h = (A - I)⁻¹B[v]²。

## 梯度下降形式

对于 f(x) = x - η∇L(x)，在 [[edge-of-stability|EoS]] 阈值处（η·λ_max = 2），c₁ 简化为：

```
c₁ = (η/2)·∇³L(x*)[v_max]²[h] - (η³/6)·∇⁴L(x*)[v_max]⁴
```

其中 v_max 为 ∇²L 的最大特征向量，h = (∇²L)†∇³L[v_max]²。

标量情形（d=1）可进一步化简为：
```
c₁ ∝ 3(L''')²/L'' - L⁽⁴⁾
```

## 稳定性含义

- **c₁ > 0**：超临界 flip 分岔 → 稳定周期-2 振荡 → EoS 收敛可能
- **c₁ < 0**：亚临界分岔 → 无稳定周期轨道 → 发散

## 与乘积稳定性 (Product-Stability) 的关系

Gan (2026) 的 [[product-stability|乘积稳定性]] α_f(z) = 3(f⁽³⁾)² - f⁽⁴⁾·f'' 本质上就是标量 f 的第一 Lyapunov 系数（差一个缩放因子）。本文证明了在高维流形设置下，c₁ 的符号由 α_f 主导——统一了极简分析与一般框架。

## 参考

- Kuznetsov (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory, Ch. 4-5.
- Mulayoff & Stich (2026).
- [[gan-bifurcation-eos]]
- [[product-stability]]
