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title: "van der Waerden Theorem"
created: 2026-05-11
updated: 2026-05-11
type: concept
tags: [number-theory, combinatorics, additive-theory]
sources: [[ramsey-numbers-survey]]
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# van der Waerden Theorem

## 定义

对正整数的任意有限着色，必存在任意长的单色等差数列。

形式化：对任意正整数 r 和 k，存在最小 W(r,k)，使得对 {1,...,W(r,k)} 的任意 r-着色，必存在长为 k 的单色等差数列。

## 历史地位

- **1927**：Bartel van der Waerden 证明，是最早的 Ramsey 型结果之一
- **密度推广**：[[szemerédi-regularity-lemma|Szemerédi 定理]]（1975）将其从着色条件加强为密度条件
- **峰顶**：[[green-tao-theorem|Green-Tao 定理]]将这一结论应用于素数集

## 证明精神

原始证明使用双重归纳法，其递归结构预示了后来 Ramsey 理论中"从大到小逐步提取子结构"的标准策略。

## 相关概念

- [[additive-combinatorics|加法组合学]]
- [[green-tao-theorem|Green-Tao 定理]]
- [[ramsey-theory|拉姆齐理论]]