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title: "Rectified Flows"
created: 2026-05-13
updated: 2026-05-13
type: concept
tags: [flow-matching, generative-modeling, ODE]
sources:
  - https://arxiv.org/abs/2209.03003
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# Rectified Flows

Rectified Flows 是 [[flow-matching|Flow Matching]] 框架中的一种**直线插值路径**，定义从噪声到数据的线性变换。

## 定义

```
z_t = t·x + (1-t)·ε
```

其中：
- x ~ p_data：干净数据
- ε ~ p_noise（通常 N(0,I)）：噪声
- t ∈ [0,1]：时间参数

速度场为常数：`v = dz/dt = x - ε`

## 特性

1. **直线轨迹**：在概率空间中寻找近乎直线的 transport map
2. **常数速度**（在 x,ε 确定时）：使得 ODE 求解特别简单
3. **可整流（rectifiable）**：通过反复"整流"（reflow）可以进一步拉直轨迹，减少采样步数

## 与其他插值路径对比

| 路径 | 公式 | 特点 |
|------|------|------|
| Rectified Flow | t·x + (1-t)·ε | 直线、速度恒定 |
| VP-SDE (DDPM) | α_t·x + σ_t·ε | 曲线、方差保持 |
| VE-SDE | x + σ_t·ε | 曲线、方差爆炸 |

## 在 ELF 中的应用

[[embedded-language-flows|ELF]] 使用 Rectified Flows 作为默认插值路径。直线轨迹使得：
- ODE 求解步数可以较少（32 步即可）
- 与 x-prediction 的参数化配合简洁
- 训练稳定，特别是在高维嵌入空间（512-768d per token）

## 参考

- Liu et al., "Flow Straight and Fast: Learning to Generate and Transfer Data with Rectified Flow", ICLR 2023
- Albergo et al., "Stochastic Interpolants", JMLR 2025