# 哥德尔编码 (Gödel Numbering)

- **领域**: 数理逻辑
- **发明者**: 库尔特·哥德尔, 1931
- **来源**: [[godel-incompleteness-tutorial|哥德尔不完备定理教程]]

## 定义

哥德尔编码是将[[formal-systems|形式系统]]中的符号、公式和证明序列唯一地映射为自然数的技术。通过质因数分解的唯一性，实现从元数学陈述到算术陈述的翻译。

## 编码规则

**基本符号编码**：为形式系统的每个基本符号分配一个唯一的自然数（如：0→1, S→2, +→3, ·→4, =→5, ¬→6, ∧→7, ∀→8, ∃→9, (→10, )→11, x→13, y→17, z→19...）

**公式编码**：若公式由符号序列 a₁a₂...aₖ 组成，各符号编码为 nᵢ，则：
$$GN(φ) = 2^{n_1} \cdot 3^{n_2} \cdot 5^{n_3} \cdot ... \cdot p_k^{n_k}$$
其中 pₖ 是第 k 个质数。

**证明编码**：若证明是公式序列 φ₁,...,φₖ，各公式编码为 gᵢ，则：
$$GN_{seq}(φ_1,...,φ_k) = 2^{g_1} \cdot 3^{g_2} \cdot ... \cdot p_k^{g_k}$$

## 算术化元数学

编码使得元数学概念转化为自然数的算术性质：
- 「x 是一个公式」→ 自然数 x 具有某性质
- 「x 是 y 的证明」→ 自然数 x 与 y 满足某关系
- 「公式 φ 可证」→ ∃x (x 是 GN(φ) 的证明)

这些算术性质在 [[peano-arithmetic|PA]] 中可表达，这是哥德尔证明的核心创新。

## 关键应用

- 构造可表示的关系 Proof(x, y) 和 Prov(y)
- 定义替换函数 Sub(a, b, c)，实现[[self-reference|自指]]
- 构造[[godel-incompleteness-theorems|哥德尔句子]] G = ¬Prov(Sub(n, n, n))

## 相关概念

[[diagonalization-method]] · [[self-reference]] · [[primitive-recursive-functions]] · [[metamathematics]]