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title: "Bastiani 微积分 (Bastiani Calculus)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [mathematics, differential-calculus, functional-analysis]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# Bastiani 微积分 (Bastiani Calculus)

Bastiani 微积分是**局部凸拓扑向量空间上的一种微分学**——在 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 中用于定义[[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]上的可微映射。

## 为什么需要

有限维微积分依赖范数的等价性和局部紧性，这些在无限维中不成立。Bastiani 微积分使用**方向导数的连续性**作为可微的定义，避免了范数依赖。

## 定义

函数 `f : U → F`（U ⊆ E 开，E, F 局部凸空间）是 Bastiani C^1 的，若：

1. 对每个方向 v ∈ E，方向导数 `Df(x)(v)` 存在
2. 映射 `(x, v) ↦ Df(x)(v)` 在 `U × E → F` 上连续

## 高阶推广

k 次连续 Bastiani 可微类 `C^k_B` 定义在**所有多线性映射的连续组合**上。

## 论文中的适配

论文将 Bastiani 微积分适配到**σ-紧设置**：
- 标准 Bastiani 在任意开集上工作
- 论文需要在 σ-紧流形上的全局分析
- 引入加权半范数族控制导数的行为

## 与其他微分学的对比

| 微分学 | 适用范围 | 特点 |
|--------|---------|------|
| Fréchet | Banach 空间 | 范数依赖 |
| Gateaux | 一般拓扑向量空间 | 方向导数，不连续 |
| Bastiani | 局部凸空间 | 连续方向导数 |
| Convenient | 任意局部凸空间 | Mackey 连续性 |

## 参考

- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
- [[weighted-spaces|加权空间]]
- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]