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title: "Eluder 维度 (Eluder Dimension)"
created: 2026-06-10
updated: 2026-06-10
type: concept
tags: ["statistical-learning-theory", "complexity-measures", "rl-theory"]
sources: ["[[minimax-policy-regret-pomg]]"]
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# Eluder 维度 (Eluder Dimension)

**Eluder 维度**（Russo & Van Roy, 2013）是衡量函数类"顺序复杂度"的度量——它刻画了需要多少样本才能在函数类中唯一确定一个函数。

## 直觉

一个函数类有小的 Eluder 维度，意味着如果两个函数在少量精心选择的数据点上一一致，它们就在所有数据点上一一致。换句话说，你不能在其中"躲藏"太久。

## 在策略后悔界中的角色

在 [[minimax-policy-regret-pomg|Arora (2026)]] 的 POMG 分析中，Eluder 维度 d_E 出现在 regret 界中：

```
PR(T) = O(sqrt(d_E * T))
```

两类算子的 Eluder 维度：

1. **Stepwise 类** (d_step)：单步 OOM 算子差异
2. **Aggregate 类** (d_agg = d_E)：整个 episode 的累积差异

## 具体界

| 模型类 | d_E |
|--------|-----|
| Tabular | O(H * |S|^2 * |A| * |B| * |O_A|^k * |O_B|^k) |
| Linear world | O(H * (d_w * |O_A|^k * |O_B|^k + d_adv * |B|)) |
| Low-rank | O(H * (r^2 * (|A|+|B|) * |O_A|^k * |O_B|^k + ...)) |

## 参考
- [[minimax-policy-regret-pomg|Minimax-Optimal Policy Regret in POMGs]]
- [[observable-operator-model|OOM]]
- [[minimax-optimality|Minimax Optimality]]