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title: "无限维流形 (Infinite-Dimensional Manifolds)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [mathematics, differential-geometry, functional-analysis]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# 无限维流形 (Infinite-Dimensional Manifolds)

无限维流形是 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 理论中 [[functional-input-neural-networks|FNN]] 的**输入空间**——模型空间是局部凸拓扑向量空间（非有限维欧氏空间）。

## 定义

流形 M 局部同胚于**模型空间**（model space），在无限维设置中模型空间是：

- **Fréchet 空间**：可度量完备局部凸空间
- **Banach 空间**：范数完备空间
- **Silva 空间**：紧算子序列的归纳极限

论文聚焦于**σ-紧模型空间**上的流形（可数个紧集的并）。

## σ-紧条件

σ-紧是连通无限维流形的**必要不充分条件**：

- 许多无限维空间（如不可分 Banach 空间）不 σ-紧
- 论文的工作假设 σ-紧，使得加权分析和 [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]] 可行

## 典型例子

- **路径空间**：α-Hölder 连续路径空间 C^α([0,T]; R^d)
- **Skorokhod 空间**：càdlàg 路径空间
- **Schwartz 分布空间**：S'(R)
- **流形上的截面空间**

## 参考

- [[functional-input-neural-networks|FNN]]
- [[weighted-spaces|加权空间]]
- [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]]
- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]