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title: "Intervention Multiplier"
created: 2026-06-01
updated: 2026-06-01
type: concept
tags: [steering, controllability, llm-dynamics]
sources: [raw/papers/xu-why-steering-works-2026.md]
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# Intervention Multiplier（干预乘子）

## 定义

干预乘子 $m$（或 $m_1, m_2$）是统一动态权重更新框架中的标量缩放系数，控制干预强度：

$$h_{i+1} = (W + m_1 \Delta W) h_i + (b + m_2 \Delta b)$$

## 核心作用

$m$ 是 Xu et al. (2026) 整个 preference–utility 分析中的**自变量**——所有动态行为都是 $m$ 的函数：

- 偏好 log-odds $\approx (\alpha_p m + \beta_p) D_p(m)$
- 效用 log-odds $\approx \beta_u D_u(m)$
- 有效性衰减 $D(m)$

## 方向不对称性

$m$ 的正负符号 **不对称**——正方向和负方向的衰减参数 $(m_\pm, L_\pm, p_\pm)$ 不同：
- $m_+$ 和 $m_-$ 分别对应正/负方向与流形的交点
- 导向在同一条线上的不同方向可能流形距离不同

## 实践意义

- $|m|$ 小：安全操作区——偏好线性增长，效用基本不变
- $|m|$ 中：折衷区——偏好继续增长，效用开始下降
- $|m|$ 大：危险区——效用崩溃，偏好不再增长

## 相关概念

- [[dynamic-weight-updates]] — 统一公式
- [[steering-dynamics]] — $m$ 驱动的三阶段动态
- [[validity-decay]] — $D(m)$ 衰减函数
- [[preference-log-odds]] — $m$ 的依赖形式
- [[xu-why-steering-works]] — 源论文