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title: "标记时间点过程 (Marked TPP)"
created: 2026-06-16
updated: 2026-06-16
type: concept
tags: [temporal-point-process, multivariate, mark-space]
sources: [raw/papers/advances-temporal-point-processes-2026.md]
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# 标记时间点过程 (Marked Temporal Point Process)

标记 TPP 是 TPP 的自然推广——每个事件不仅有时间戳，还附带一个"标记"（mark），表示事件类型或附加属性。

## 定义

标记序列：
```
T = ((t_1, k_1), ..., (t_N, k_N))
```
其中 `k_n` 是第 n 个事件的标记，标记空间可是连续的（如价格）或离散的（如事件类别）。

## 多元 TPP（Multivariate TPP）

当标记为离散类别时，标记 TPP 等价于多元 TPP——K 种事件类型对应 K 个一元 TPP，通过条件强度函数交叉耦合：

```
lambda*_k(t) = f_k(H_{t-})
```

这是 [[granger-causality-tpp|Granger 因果发现]] 的数学基础。

## 条件分布

标记 TPP 的条件分布可以分解为时间和标记的联合分布：

```
f(t, k | H_{t_n}) = f_time(t | H_{t_n}) * f_mark(k | t, H_{t_n})
```

这种分解使得模型可以先预测时间再预测类型，或联合建模。

## 在神经 TPP 中的处理

- **共享表征**：RNN/Transformer 的隐状态 `h_n` 同时编码历史中的时间和标记信息
- **输出头**：两个独立输出头分别预测时间（如混合对数正态的均值和方差）和标记（如 softmax）
- **损失函数**：联合负对数似然 = time NLL + mark NLL

## 参考

- [[temporal-point-process|时间点过程]]
- [[hawkes-process|Hawkes 过程]]（最常见的多元 TPP 实例）
- [[granger-causality-tpp|Granger 因果发现]]
- [[advances-temporal-point-processes-2026|TPP 综述]]