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title: "非预期泛函 (Non-Anticipative Functionals)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [stochastic-processes, functional-analysis, path-space]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# 非预期泛函 (Non-Anticipative Functionals)

非预期泛函是依赖**路径过去而非未来**的路径空间映射——在 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 中被证明可被 FNN 逼近（包括导数）。

## 定义

对路径 `ω : [0,T] → R^d`，泛函 `F(ω)_t` 在时间 t 是**非预期的**，若它仅依赖 `ω|[0,t]`（路径在 t 之前的部分）。

数学上：`F(ω)_t = F(ω(·∧t))`（停时自适应）。

## 水平与垂直导数

论文的核心贡献之一是证明了 FNN 可以逼近非预期泛函的**两种导数**：

### 水平导数（Horizontal Derivative）
```
D_H F(ω)_t = lim_{h→0+} (F(ω(·+h))_{t+h} - F(ω)_t) / h
```
沿时间方向的导数——捕获时间演化的影响。

### 垂直导数（Vertical Derivative）
```
D_V F(ω)_t(η) = lim_{ε→0} (F(ω + εη)_t - F(ω)_t) / ε
```
沿空间扰动的导数——捕获路径形变的影响。

## 重要性

非预期泛函是**Functional Itô 微积分**的核心对象：
- SDE 的解 → 非预期泛函
- 路径依赖期权定价 → 非预期泛函
- 随机控制 → 非预期泛函

## 加权 UAT 的应用

论文 Theorem 5.2：FNN 可在加权空间中同时逼近非预期泛函及其水平/垂直导数 → 这是首次将 UAT 从"函数值"拓展到 "泛函值 + 两种导数"。

## 参考

- [[functional-input-neural-networks|FNN]]
- [[signature|Signature]]
- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]