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title: "时间点过程 (Temporal Point Process)"
created: 2026-06-16
updated: 2026-06-16
type: concept
tags: [temporal-point-process, stochastic-process, event-modeling]
sources: [raw/papers/advances-temporal-point-processes-2026.md]
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# 时间点过程 (Temporal Point Process, TPP)

时间点过程是用于建模在连续时间中发生的事件序列的随机过程模型。

## 定义

一个 TPP 描述时间窗口 `[0, T]` 内的事件序列 `T = (t_1, ..., t_N)`，其中 `t_n` 是第 n 个事件的时刻，`N(t)` 是到时刻 t 为止的事件计数。

## 两种等价参数化

### 条件密度函数

通过指定相邻事件间的时间间隔分布来定义：

```
f(t_1, ..., t_N) = ∏ f(t_n | H_{t_{n-1}})
```

其中 `H_t` 表示到时刻 t 为止的事件历史。例如，更新过程（renewal process）假设时间间隔 i.i.d.；再进一步假设间隔服从指数分布则得到齐次泊松过程。

### 条件强度函数

定义在无穷小时间区间内事件发生的平均次数：

```
lambda*(t) dt = E[N([t, t+dt]) | H_{t-}]
```

强度函数提供了更直观的历史依赖性描述——因为它直接表达"过去如何影响未来事件的速率"。这是大多数 TPP 模型的核心参数化工具。

## 两种基本类型

- **Unmarked TPP**（无标记）：仅建模事件时间
- **[[marked-temporal-point-process|Marked TPP]]**（有标记）：每个事件附带类型标记 `k_n`，序列为 `((t_1,k_1), ..., (t_N,k_N))`

## 经典模型

- **[[poisson-process|泊松过程]]** — 历史独立，强度为常数或时变函数
- **[[hawkes-process|Hawkes 过程]]** — 历史依赖（自激励），强度为 `mu + sum phi(t-t_n)`

## 参考

- Daley & Vere-Jones (2007), "An Introduction to the Theory of Point Processes"
- [[advances-temporal-point-processes-2026|TPP 综述 (Zhou et al., 2026)]]
- [[neural-temporal-point-process|神经 TPP]]
- [[bayesian-nonparametric-tpp|贝叶斯非参数 TPP]]