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title: "Validity Decay"
created: 2026-06-01
updated: 2026-06-01
type: concept
tags: [steering, representation-geometry, controllability]
sources: [raw/papers/xu-why-steering-works-2026.md]
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# Validity Decay（有效性衰减）

## 定义

有效性衰减 $D(m)$ 是 Xu et al. (2026) 提出的量化函数，描述当导向干预增大时，激活的**可解码质量**如何退化。

## 核心假设（Assumption 4.2）

存在一个单调非增的有效性函数 $V_l: \mathbb{R}^{d_l} \to [0, 1]$，捕捉剩余网络 $F_{l \to L}$ 能否稳定解码给定激活。$V_l$ 随激活到流形 $M_l$ 的距离增大而下降。

导向干预下的平均有效性：
$$D(m) = \mathbb{E}_{x \sim X_{\text{stable}}} \left[ V_l(\tilde{h}_l(m)) \right]$$

## RQ 衰减形式

$$D(m) = \begin{cases} \left[ 1 + \frac{(m-m_+)^2}{L_+} \right]^{-p_+} & m \geq 0 \\ \left[ 1 + \frac{(m-m_-)^2}{L_-} \right]^{-p_-} & m < 0 \end{cases}$$

**参数含义**：
- $m_\pm$：与流形的交点（最优有效性位置）
- $L_\pm$：衰减尺度（与流形几何有关）
- $p_\pm$：尾部衰减速率

## 在 Preference–Utility 分析中的角色

| 维度 | 公式 | 衰减的作用 |
|------|------|----------|
| Preference | $\log\frac{P(p_p)}{1-P(p_p)} = (\alpha_p m + \beta_p) D_p(m) + b_p$ | 投影增益 × 衰减 |
| Utility | $\log\frac{P(u)}{1-P(u)} = \beta_u D_u(m) + b_u$ | 纯衰减（无投影项） |

**关键不对称**：由于偏好导向方向与效用方向近似正交（$\omega_u^T \Delta h \approx 0$），效用仅通过 $D(m)$ 受影响——这是 preference–utility 折衷的**形式化根源**。

## 相关概念

- [[activation-manifold]] — 流形假说的几何基础
- [[representation-validity]] — 表示有效性的更广泛概念
- [[steering-dynamics]] — $D(m)$ 如何驱动三阶段动态
- [[xu-why-steering-works]] — 源论文