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title: "加权空间 (Weighted Spaces)"
created: 2026-06-17
updated: 2026-06-17
type: concept
tags: [functional-analysis, topology, approximation-theory]
sources: [raw/papers/schmocker-weighted-uat-2026.md]
confidence: high
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# 加权空间 (Weighted Spaces)

加权空间是 [[weighted-uat-manifolds|Schmocker & Teichmann (2026)]] 框架的**核心技术设定**——通过权重函数 Ψ 控制函数和导数在非紧区域的行为，实现全局逼近。

## 动机

经典 [[universal-approximation-theorem|UAT]] 在紧集上工作。但：

- 随机过程的路径**几乎必然不落在紧集中**
- SDE 解的支撑集是非紧的
- 需要全局逼近理论

## 定义

权重函数 Ψ 是一族连续函数，定义"可接受的"增长速率：

```
k               k
B_Ψ (M; Y) := { f : M → Y in C^k : 对任意 p, ∃C: ‖f‖_{k,Ψ} < ∞ }
```

其中 `‖f‖_{k,Ψ}` 是加权 C^k 半范数。

## 关键性质

- **Ψ-moderate growth**：函数和直到 k 阶导数被 Ψ 控制
- **子代数条件**：加权空间中乘积的封闭性
- **分离性**：权重族必须足够丰富以分离点
- **局部凸结构**：半范数族生成局部凸拓扑

## 扩展：高阶切空间权重

论文将加权设置扩展到**高阶切空间**——不仅控制函数值，还控制各阶方向导数。通过 [[bastiani-calculus|Bastiani 微积分]] 的 σ-紧适配实现。

## 参考

- [[nachbin-theorem|Nachbin 定理]]
- [[infinite-dimensional-manifolds|无限维流形]]
- [[universal-approximation-theorem|UAT]]
- [[weighted-uat-manifolds|论文原文]]