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title: "Koopman Theory（Koopman 理论）"
created: 2026-05-11
updated: 2026-05-11
type: concept
tags: [dynamical-systems, operator-theory, mathematical-physics]
sources: [[liu-koopa-2023]]
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# Koopman Theory（Koopman 理论）

## 定义

Koopman 理论（Bernard Koopman, 1931）是动力系统的算子理论框架：假设系统状态 x_t 可被投影到测量函数 g 的空间中，该空间中的动力学由一个**无限维线性算子 K** 驱动：

K ∘ g(x_t) = g(F(x_t)) = g(x_{t+1})

## 核心洞见

- **从非线性到线性的映射**：在原始状态空间是非线性的动力学 F，在测量函数空间中是线性的
- **谱分析能力**：线性算子可应用全套谱分析工具，获得动力学的深度解析
- **无限维代价**：算子 K 是无限维的，实践中需要有限维近似

## 数值实现

[[dynamic-mode-decomposition|动态模式分解 (DMD)]] 是标准的有限维 Koopman 算子近似方法。[[koopman-autoencoder|Koopman 自编码器 (KAE)]] 用深度网络学习测量函数，避免了手工设计的困难。

## 相关概念

- [[koopman-predictor|Koopman 预测器]]
- [[dynamic-mode-decomposition|DMD]]
- [[liu-koopa-2023|Koopa]]