feat(0052): 添加欧拉52题“排列倍数”的最优算法实现

solutions/0052.PermutedMultiples/README.md

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+欧拉计划第52题（**排列倍数**）的答案是 **142857**。
+
+最快的数学计算方式基于以下**三大核心数学原理**的级联优化：
+
+---
+
+### 1. 位数约束原理（范围剪枝）
+**数学基础**：若 $x$ 与 $6x$ 位数相同，则必须满足：
+$$10^{n-1} \leq x < \frac{10^n}{6} \approx 1.666... \times 10^{n-1}$$
+
+这直接排除了 $60\%$ 以上的搜索空间。例如6位数时，只需检查 $[100000, 166666)$ 区间，而非 $[100000, 1000000)$。
+
+---
+
+### 2. 模9同余原理（整除筛选）
+**数学基础**：数字和与模9同余（数根理论）。若 $x$ 与 $kx$ 是数字排列，则：
+$$\sum \text{digits}(x) \equiv x \pmod{9} \equiv kx \equiv \sum \text{digits}(kx) \pmod{9}$$
+
+由此推出 $(k-1)x \equiv 0 \pmod{9}$。取 $k=2$，得：
+$$x \equiv 0 \pmod{9}$$
+
+**关键优化**：只需检查9的倍数，搜索空间再缩减 $89\%$。
+
+---
+
+### 3. 规范形签名原理（排列判定）
+**数学基础**：两个数是排列 ⟺ 它们的**数字频数向量**（Digit Histogram）相同。
+
+不采用字符串排序（$O(d \log d)$），而是用**计数数组**作为规范签名（$O(d)$）：
+```python
+def signature(n):
+    count = [0] * 10
+    while n:
+        count[n % 10] += 1
+        n //= 10
+    return tuple(count)  # 如142857 → (1,1,1,1,1,1,0,1,0,0)的某种编码
+```
+
+---
+
+### 最优算法实现（Python）
+
+```python
+def euler52():
+    n = 1
+    while True:
+        start = 10**(n-1)
+        # 核心约束：x * 6 必须仍是n位数
+        end = int(10**n / 6) + 1
+        
+        # 步长为9：利用模9同余原理
+        for x in range((start + 8) // 9 * 9, end, 9):
+            sig = signature(x)
+            # 检查2x到6x是否共享相同签名
+            if all(signature(k * x) == sig for k in range(2, 7)):
+                return x
+        n += 1
+
+# 结果：142857（即1/7的小数循环节）
+```
+
+**复杂度**：对于 $n$ 位数，候选量从 $9 \times 10^{n-1}$ 降至约 $0.074 \times 10^{n-1}$，配合 $O(n)$ 的签名比较，可在**微秒级**求解。
+
+---
+
+### 深层数学结构
+解 **142857** 并非偶然，它是**循环数**（Cyclic Number），与 $1/7 = 0.\overline{142857}$ 的小数展开密切相关。其性质源于 $10$ 是模 $7$ 的原根，导致 $2/7, 3/7...6/7$ 的循环节恰好是 $142857$ 的轮换排列。

solutions/0052.PermutedMultiples/euler_52.py

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+"""
+It can be seen that the number, 125874, and its double, 251748,
+contain exactly the same digits, but in a different order.
+
+Find the smallest positive integer, x, such that
+2x, 3x, 4x, 5x, and 6x contain the same digits.
+"""
+
+import time
+
+
+def timer(func):
+    def wrapper(*args, **kwargs):
+        start_time = time.time()
+        result = func(*args, **kwargs)
+        end_time = time.time()
+        elapsed_time = end_time - start_time
+        print(f"{func.__name__} time: {elapsed_time:.6f} seconds")
+        return result
+
+    return wrapper
+
+
+def has_same_digits(x, y):
+    return sorted(str(x)) == sorted(str(y))
+
+
+def signature(n):
+    count = [0] * 10
+    while n:
+        count[n % 10] += 1
+        n //= 10
+    return tuple(count)
+
+
+def find_smallest_permuted_multiple():
+    x = 1
+    while True:
+        if not x % 9 == 0:
+            x += 1
+            continue
+        for i in range(2, 7):
+            if not has_same_digits(x, x * i):
+                break
+        else:
+            return x
+        x += 1
+
+
+def better_permuted_multiple():
+    n = 1
+    while True:
+        start = 10 ** (n - 1)
+        # 核心约束：x * 6 必须仍是n位数
+        end = int(10**n / 6) + 1
+
+        # 步长为9：利用模9同余原理
+        for x in range((start + 8) // 9 * 9, end, 9):
+            sig = signature(x)
+            # 检查2x到6x是否共享相同签名
+            if all(signature(k * x) == sig for k in range(2, 7)):
+                return x
+        n += 1
+
+
+@timer
+def main():
+    result = find_smallest_permuted_multiple()
+    print(f"{result}")
+
+
+@timer
+def main_better():
+    result = better_permuted_multiple()
+    print(f"{result}")
+
+
+if __name__ == "__main__":
+    main()
+    main_better()