✨ feat(euler_45)：添加欧拉项目第45题解决方案

📝 docs(euler_45)：添加详细数学推导和佩尔方程说明文档
2026-01-26 15:36:19 +08:00
parent e44581dda3
commit a660ce3942
2 changed files with 587 additions and 0 deletions
--- a/solutions/0045.TrianPentaHexa/euler_45.py
+++ b/solutions/0045.TrianPentaHexa/euler_45.py
@@ -0,0 +1,86 @@
 """
 Triangle, pentagonal, and hexagonal numbers are generated by the following formulae:
    Triangle: T_n = n(n+1)/2
    Pentagonal: P_n = n(3n-1)/2
    Hexagonal: H_n = n(2n-1)
 It can be verified that T_285 = P_165 = H_143 = 40755.
 Find the next triangle number that is also pentagonal and hexagonal.
 """
 import time
 def timer(func):
    def wrapper(*args, **kwargs):
        start_time = time.time()
        result = func(*args, **kwargs)
        end_time = time.time()
        print(f"{func.__name__} taken: {end_time - start_time:.6f} seconds")
        return result
    return wrapper
 def is_pentagonal(x):
    """检查一个数是否为五边形数"""
    # 解方程 n(3n-1)/2 = x => 3n² - n - 2x = 0
    # 判别式 Δ = 1 + 24x 必须是完全平方数
    delta = 1 + 24 * x
    sqrt_delta = int(delta**0.5)
    if sqrt_delta * sqrt_delta != delta:
        return False
    # 并且 (1 + sqrt(Δ)) ≡ 0 mod 6
    return (1 + sqrt_delta) % 6 == 0
 def is_hexagonal(x):
    """检查一个数是否为六边形数"""
    # 解方程 n(2n-1) = x => 2n² - n - x = 0
    # 判别式 Δ = 1 + 8x 必须是完全平方数
    delta = 1 + 8 * x
    sqrt_delta = int(delta**0.5)
    if sqrt_delta * sqrt_delta != delta:
        return False
    # 并且 (1 + sqrt(Δ)) ≡ 0 mod 4
    return (1 + sqrt_delta) % 4 == 0
@timer
 def main() -> None:
    n = 286
    while True:
        triangle = n * (n + 1) // 2
        # 直接使用已有的验证函数，避免重复计算
        if is_pentagonal(triangle) and is_hexagonal(triangle):
            # 找到后计算对应的索引
            pent_index = (1 + int((1 + 24 * triangle) ** 0.5)) // 6
            hex_index = (1 + int((1 + 8 * triangle) ** 0.5)) // 4
            print(f"Answer: T({n})=P({pent_index})=H({hex_index})={triangle}")
            break
        n += 1
@timer
 def main_quick_math(nth: int = 2) -> None:
    u = 5
    v = 3
    sn = 0
    while True:
        u, v = (2 * u + 3 * v), (u + 2 * v)
        if u % 6 == 5 and v % 4 == 3:
            k = (u + 1) // 6
            j = (v + 1) // 4
            n = 2 * j - 1
            sn += 1
            if sn == nth:
                print(f"Answer: T({n})=P({k})=H({j})={n * (n + 1) // 2}")
                break
 if __name__ == "__main__":
    main()
    main_quick_math()
--- a/solutions/0045.TrianPentaHexa/readme.md
+++ b/solutions/0045.TrianPentaHexa/readme.md
@@ -0,0 +1,501 @@
 三角形数、五边形数和六边形数之间有一个重要关系：**每一个六边形数都是三角形数**。具体来说，六边形数 \(H_n = n(2n-1)\) 等于三角形数 \(T_{2n-1} = (2n-1)(2n)/2 = n(2n-1)\)。因此，问题转化为寻找**同时是五边形数和六边形数**的数（这样的数自动是三角形数）。
 已知 \(T_{285} = P_{165} = H_{143} = 40755\)，需要找到下一个这样的数。利用五边形数和六边形数的公式，设 \(P_k = H_j\)，得到方程：
 \[
 k(3k-1)/2 = j(2j-1)
 \]
 两边乘以2并整理得：
 \[
 3k^2 - k = 4j^2 - 2j
 \]
 通过配方，引入变量 \(u = 6k - 1\) 和 \(v = 4j - 1\)，可将其转化为佩尔方程：
 \[
 u^2 - 3v^2 = -2
 \]
 其中 \(u \equiv 5 \pmod{6}\)，\(v \equiv 3 \pmod{4}\) 以保证 \(k\) 和 \(j\) 为整数。
 该方程的解可通过迭代生成：若 \((u, v)\) 是一组解，则下一组解为 \((u', v') = (2u + 3v, u + 2v)\)。从已知解 \((u, v) = (989, 571)\)（对应 40755）开始，迭代并检查同余条件，得到下一组满足条件的解为 \((191861, 110771)\)。
 由此计算出：
 - \(k = (u + 1)/6 = 31977\)
 - \(j = (v + 1)/4 = 27693\)
 对应的数为：
 \[
 x = P_k = \frac{k(3k-1)}{2} = \frac{31977 \times 95930}{2} = 1533776805
 \]
 验证可知该数同时也是六边形数和三角形数。
 因此，下一个同时是三角形数、五边形数和六边形数的数是 **1533776805**。
 ---
 # 关于 佩尔方程 （Pell's Equation）
 下面从**历史来源、基本定义与形式、解的存在性与结构、典型求解方法、解之间的关系、广义佩尔方程及应用**等方面，对佩尔方程做一个系统、全面且尽量直观的介绍。
 ---
 ## 一、历史来源与名称由来
 ### 1.1 古印度的起源
 佩尔方程实质上起源很早，最系统的早期研究来自古印度数学校派：
 - 7世纪的 **Brahmagupta（婆罗摩笈多）** 就研究了形如  
  \[
  x^2 - Dy^2 = 1 \quad\text{或}\quad x^2 - Dy^2 = k
  \]
  的方程。他提出了著名的 **“复合公式（composition）”**：如果  
  \[
  x_1^2 - Dy_1^2 = n_1,\quad x_2^2 - Dy_2^2 = n_2
  \]
  则
  \[
  (x_1x_2 + D y_1 y_2)^2 - D(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = n_1 n_2
  \]
  从而可以“复合”已有解构造新解，这是后世单位理论和解结构的雏形。
 - 后来的印度数学家如 **Bhaskara II、Narayana Pandit** 等，发展了著名的 **Chakravala（循环法）** 算法，这是一种求解佩尔型方程的迭代算法，在计算效率和思想深度上都相当先进[1][2][3]。
 ### 1.2 欧洲的再发现与系统化
 - 17世纪，**Fermat（费马）** 在给欧洲同行的挑战中多次提出这类方程，要求找到对  
  \[
  x^2 - Dy^2 = 1
  \]
  的普遍解法。
 - 英国数学家 **Brouncker（布朗克）** 利用连分数方法最早给出了一般解法[1][2][4]。
 - 18世纪，**Lagrange（拉格朗日）** 从连分数理论出发，给出了系统而完整的理论（包括“对任意非平方正整数 D，总存在无穷多解”的严格证明）。
 ### 1.3 “佩尔方程”名称的误会
 - 18世纪的 **Euler（欧拉）** 在论述这类方程时，误将相关成果归功于英国数学家 **John Pell**，而实际上 Pell 本人在该方程上的贡献并不突出。
 - 这个误会流传开来，方程被称作“Pell's equation”，中文常译为 **佩尔方程**[1][3][6][9]。
 总结：**佩尔方程起源于印度，被费马等人推动进入欧洲视野，拉格朗日完成理论化，最终却误以 Pell 命名。**
 ---
 ## 二、基本定义与形式
 ### 2.1 标准佩尔方程
 通常所说的“佩尔方程”是指：
 \[
 x^2 - Dy^2 = 1
 \]
 其中：
 - \(D\) 为正整数，且 **不是完全平方数**（若为完全平方则问题退化）。
 - 要求 \(x,y\) 为整数（常常关注正整数解）。
 若 \(D\) 是完全平方数，例如 \(D = k^2\)，则
 \[
 x^2 - k^2 y^2 = (x - ky)(x + ky) = 1
 \]
 整数解只有平凡解 \((x,y) = (\pm1, 0)\)，因此在数论中通常只考虑 **\(D\) 非平方**的情况。
 ### 2.2 负佩尔方程
 另一个常见的变体是
 \[
 x^2 - Dy^2 = -1
 \]
 通常称为 **负佩尔方程**。是否存在解取决于 \(D\) 的性质，尤其与 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开 **周期长度的奇偶性** 有关（下文会提到）。
 ### 2.3 广义佩尔方程
 再推广一步，可以考虑
 \[
 x^2 - Dy^2 = N
 \]
 其中 \(N\) 为任意整数。这类方程常称为 **广义佩尔方程（generalized Pell equation）**[2][3][5][7]。
 - 当 \(N = 1\) 就是标准佩尔方程。
 - 当 \(N = -1\) 即负佩尔方程。
 - 一般 \(N\) 的解的存在性和结构与标准方程的解有密切联系。
 ---
 ## 三、解的存在性与基本结构
 ### 3.1 拉格朗日定理：总有无穷多解
 **定理（Lagrange）：**  
 对任意非平方正整数 \(D\)，方程
 \[
 x^2 - Dy^2 = 1
 \]
 在整数中有 **无限多组非平凡解** \((x,y)\)[1][2][3][6]。
 这意味着：
 - 不仅总有解，而且解集非常丰富。
 - 所有正整数解中存在**一组最小的正解** \((x_1,y_1)\)，称为 **基本解 / 最小解 / fundamental solution**。
 - 其他所有正整数解都可以从这组基本解“生成”。
 ### 3.2 解的指数结构
 一个非常重要的结构结论是：
 > 若 \((x_1, y_1)\) 是 \(x^2 - Dy^2 = 1\) 的基本解，则所有正整数解 \((x_n,y_n)\) 可以用
 > \[
 > x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n,\quad n = 1,2,3,\dots
 > \]
 > 来表示。
 其中：
 - \(n = 1\) 时就是基本解；
 - 对每个 \(n\)，\((x_n,y_n)\) 都是整数解；
 - 不同的 \(n\) 给出互不相同的解。
 这实际上利用了二次域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{D})\) 中的“单位”（范数为 1 的代数整数），即：
 \[
 N(x + y\sqrt{D}) = (x + y\sqrt{D})(x - y\sqrt{D}) = x^2 - Dy^2
 \]
 佩尔方程的解正是 **范数为 1 的单位元**。
 ---
 ## 四、典型求解方法：为什么连分数如此核心？
 佩尔方程最实用、也最经典的求解方法是 **连分数法（continued fractions）**。其核心在于一个深刻的事实：
 > **\(\sqrt{D}\) 的连分数展开是周期性的；  
 > 佩尔方程的解可以通过其连分数的收敛分数（convergents）获得。**
 ### 4.1 \(\sqrt{D}\) 的连分数展开
 对于 \(D\) 非平方，\(\sqrt{D}\) 是无理数，它的连分数展开形式是
 \[
 \sqrt{D} = [a_0; a_1, a_2, \dots] = 
 a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cdots}}
 \]
 且有一个重要结论[1][3][6][10]：
 - 该连分数是 **纯周期的（自某处起循环）**：
  \[
  \sqrt{D} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \dots, a_n}]
  \]
  上面的横线表示 \((a_1,\dots,a_n)\) 反复循环。
 - 这个周期长度 \(n\)（有时也写作 \(\ell\)）决定了佩尔方程解的结构，尤其和**负佩尔方程是否有解**有强关联。
 ### 4.2 收敛分数与基本解
 连分数的第 \(k\) 个 **收敛分数** \(p_k/q_k\) 由递推公式给出：
 \[
 \begin{cases}
 p_{-2}=0,\; p_{-1}=1 \\
 q_{-2}=1,\; q_{-1}=0 \\
 p_k = a_k p_{k-1} + p_{k-2} \\
 q_k = a_k q_{k-1} + q_{k-2}
 \end{cases}
 \]
 关键事实：
 - 对某些 \(k\)，\((x,y)=(p_k,q_k)\) 会满足 \(x^2 - Dy^2 = \pm 1\)。
 - 周期长度的奇偶决定我们应看第几个收敛分数来得到**基本解**。
 更具体地（略去严密证明，只给结论）：
 - 若周期长度 \(n\) 为 **偶数**，则  
  基本解来自 “周期结束位置”的收敛分数。
 - 若周期长度 \(n\) 为 **奇数**，则  
  通常需要看“两个周期”的收敛分数，即更靠后的一项。
 典型例子：  
 \(\sqrt{61}\) 的连分数为
 \[
 \sqrt{61} = [7; \overline{1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14}]
 \]
 周期长度为 11（奇数），对应的基本解为：
 \[
 x_1 = 1766319049,\quad y_1 = 226153980
 \]
 这是一个非常大的解，说明基本解 **可能极其巨大**（这在计算理论上非常重要）。
 ### 4.3 Chakravala（循环法）
 另一个经典方法是印度的 **Chakravala algorithm**（循环法）[2][3][5]：
 - 通过从“近似解”开始，不断调整，使  
  \[
  x^2 - Dy^2 = k
  \]
  中的绝对值 \(|k|\) 逐步缩小，最终达到 \(k = \pm1\)。
 - 每一步更新利用类似 Brahmagupta 复合公式的构造。
 - 在很多 \(D\) 的情形下，它比直接算连分数更高效。
 现代教材多以连分数为主，但在历史与算法思想上，Chakravala 非常值得单独研究。
 ---
 ## 五、解之间的关系与递推公式
 ### 5.1 “乘法封闭”与单位群结构
 设 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 均是
 \[
 x^2 - Dy^2 = 1
 \]
 的解，则考虑
 \[
 (x_1 + y_1\sqrt{D})(x_2 + y_2\sqrt{D}) = 
 (x_3 + y_3\sqrt{D})
 \]
 展开可得：
 \[
 x_3 = x_1x_2 + Dy_1y_2,\quad
 y_3 = x_1y_2 + x_2y_1
 \]
 可以验证：
 \[
 x_3^2 - Dy_3^2 = (x_1^2 - Dy_1^2)(x_2^2 - Dy_2^2) = 1\cdot1 = 1
 \]
 即：**两个解的“乘法”仍是解**[2][6][8]。这说明佩尔方程解在运算
 \[
 (x,y) \cdot (x',y') = (x x' + D y y',\, x y' + x' y)
 \]
 下形成一个 **阿贝尔群**，这本质上就是 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\) 中单位元群。
 ### 5.2 从基本解生成所有解：指数关系
 如前所述，若 \((x_1,y_1)\) 是基本解，则
 \[
 x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n
 \]
 因此得到显式递推公式（可由二项式展开得到）：
 - 一阶递推：
  \[
  \begin{cases}
  x_{n+1} = x_1 x_n + D y_1 y_n \\
  y_{n+1} = x_1 y_n + y_1 x_n
  \end{cases}
  \]
 - 二阶线性递推（只用 \(x_n\) 自身）：
  \[
  x_{n+1} = 2 x_1 x_n - x_{n-1},\quad
  y_{n+1} = 2 x_1 y_n - y_{n-1}
  \]
  这是因为 \((x_1 + y_1\sqrt{D})\) 类似“特征根”，解序列是形如 \(\lambda^n\) 的线性递推。
 这些递推在研究解的增长速度、解中出现“完全幂”等性质时非常有用[8][9]。
 ---
 ## 六、广义佩尔方程 \(x^2 - Dy^2 = N\)
 ### 6.1 基本结构
 广义佩尔方程：
 \[
 x^2 - Dy^2 = N
 \]
 其中 \(D\) 非平方，\(N\) 为任意整数[2][3][5][7]。
 核心事实：
 - 若存在 **一个**整数解 \((x_0,y_0)\)，且标准佩尔方程有基本解 \((x_1,y_1)\)，则
  所有解都可以写成
  \[
  x + y\sqrt{D} = (x_0 + y_0\sqrt{D})(x_1 + y_1\sqrt{D})^n,\quad n\in\mathbb{Z}
  \]
 - 即：解的集合是“单位群轨道上的一个整点”。
 更直观地说：
 1. **先解标准方程** \(x^2 - Dy^2 = 1\)，求出单位元 \(u = x_1 + y_1\sqrt{D}\)；
 2. 若能找到一个满足 \(x^2 - Dy^2 = N\) 的特解 \(v = x_0 + y_0\sqrt{D}\)，
 3. 则所有解都是 \(v, uv, u^2 v, u^3 v, ...\) 这一无限序列中的整数点。
 ### 6.2 解的存在性与条件
 - 广义方程并不总有解，它的可解性与模 \(D\) 的二次剩余、类群结构等深层理论有关。
 - 一旦有一个解，通常便会有无穷多解，这是因为可以不断乘以单位元 \(u\)。
 在具体计算中，常先通过模数检查、有限搜索或用连分数辅助找到一个特解，再用标准佩尔方程的单位元生成全部解。
 ---
 ## 七、佩尔方程通常解决或涉及哪些问题？
 佩尔方程本身就是经典的丢番图问题，但它也广泛出现在以下情景中：
 ### 7.1 有理逼近与“最佳逼近”
 - 连分数理论告诉我们：连分数的收敛分数 \(p_k/q_k\) 给出对实数 \(\alpha\) 的 **最佳有理逼近**。
 - 对 \(\alpha = \sqrt{D}\) 而言，满足
  \[
  \left| \sqrt{D} - \frac{x}{y} \right|
  \]
  非常小的分数 \(\frac{x}{y}\) 常常来自佩尔方程解，因为若
  \[
  x^2 - Dy^2 = \pm 1
  \]
  则
  \[
  \left|\sqrt{D} - \frac{x}{y}\right|
    = \left|\frac{x^2 - Dy^2}{y(\sqrt{D} + x/y)}\right|
    \approx \frac{1}{2 \sqrt{D} y^2}
  \]
 - 因此，佩尔方程的解经常用于构造**对平方根的极优有理近似**。
 ### 7.2 二次域与代数数论中的单位问题
 在二次代数数域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{D})\) 中：
 - 环 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\) 的单位元集合与佩尔方程的解一一对应：
  \[
  N(x + y\sqrt{D}) = x^2 - Dy^2 = \pm 1
  \]
 - 研究单位元结构（Dirichlet 单位定理的特例）即是在研究佩尔方程。
 - 类数、理想分解、模形式等更高阶理论中，都频繁出现佩尔方程及其广义形式[3][7][9]。
 ### 7.3 组合、几何与图论中的出现
 - 一些关于 **整数点格、几何图形面积** 的问题会转化为方程 \(x^2 - Dy^2 = N\)；
 - 在某些组合结构（例如 dessins d'enfants 的不变量研究）中也出现佩尔方程[7]。
 ### 7.4 密码学与算法复杂度
 - 佩尔方程提供了构造**巨大整数对**的自然途径，可用于某些密码构造或伪随机数生成；
 - 同时也出现在对某些加密算法的攻击分析中；
 - 在计算复杂性研究中，用来测试数论算法的效率。
 ---
 ## 八、具体例子与直观体会
 ### 8.1 小 D 的基本解示例
 根据理论和连分数计算，可得到若干典型 D 的基本解（这里列出部分）[1][2][3][6]：
 | \(D\) | 基本解 \((x_1, y_1)\) |
 |------|----------------------|
 | 2    | (3, 2)              |
 | 3    | (2, 1)              |
 | 5    | (9, 4)              |
 | 6    | (5, 2)              |
 | 7    | (8, 3)              |
 | 8    | (3, 1)              |
 | 10   | (19, 6)             |
 | 11   | (10, 3)             |
 | 12   | (7, 2)              |
 | 14   | (15, 4)             |
 | 15   | (4, 1)              |
 | 17   | (33, 8)             |
 | 18   | (17, 4)             |
 | 19   | (170, 39)           |
 | 20   | (9, 2)              |
 | 21   | (55, 12)            |
 | 22   | (197, 42)           |
 | 23   | (24, 5)             |
 | 24   | (5, 1)              |
 | 28   | (127, 24)           |
 | 31   | (1520, 273)         |
 | 43   | (3482, 531)         |
 | 46   | (24335, 3588)       |
 | 61   | (1766319049, 226153980) |
 可以看到：
 - 有的 \(D\)（如 2,3,5）基本解较小；
 - 有的 \(D\)（如 61）基本解极大，这正是为什么佩尔方程在计算机上求解仍然具有挑战性。
 ### 8.2 利用递推获得更高阶解的感受
 以 \(D = 2\) 为例，方程
 \[
 x^2 - 2y^2 = 1
 \]
 基本解为 \((3,2)\)。则第二个解由
 \[
 x_2 + y_2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2}
 \]
 即 \((x_2,y_2) = (17,12)\)，验证：
 \[
 17^2 - 2\cdot 12^2 = 289 - 288 = 1
 \]
 第三个解：
 \[
 (3 + 2\sqrt{2})^3 = 99 + 70\sqrt{2} \Rightarrow (x_3,y_3) = (99,70)
 \]
 解的规模指数增长，这种**指数级膨胀**是佩尔方程序列的一大特征。
 ---
 ## 九、总结：佩尔方程的内涵与价值
 综合上述内容，可以从几个角度理解佩尔方程的“全貌”：
 1. **来源**  
   - 起源于古印度的丢番图方程研究，是 Brahmagupta–Bhaskara–Chakravala 传统的重要对象；
   - 17世纪由 Fermat 挑战推动，Brouncker 首给欧洲解法，18世纪 Lagrange 完成理论统一；
   - 名称源自 Euler 的误归功，John Pell 实际贡献有限。
 2. **通常解决的问题**  
   - 经典丢番图问题：给定非平方 \(D\)，求所有整数解 \((x,y)\) 使 \(x^2 - Dy^2 = 1\)；
   - 给出 \(\sqrt{D}\) 的最佳有理逼近；
   - 在二次代数数域中，描述环 \(\mathbb{Z}[\sqrt{D}]\) 的单位元结构；
   - 为广义方程 \(x^2 - Dy^2 = N\) 提供单位群背景，从而刻画其全部解；
   - 在密码学、几何、图论等领域，作为子问题或工具频繁出现。
 3. **解的关系与结构**  
   - 存在唯一（在正象限）的**最小正解** \((x_1,y_1)\)，称为基本解；
   - 所有解满足
     \[
     x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n
     \]
     呈现指数结构；
   - 两个解的“乘积”仍是解，形成单位群，递推关系
     \[
     x_{n+1} = x_1x_n + Dy_1y_n,\quad y_{n+1} = x_1y_n + y_1x_n
     \]
     或二阶线性递推形式；
   - 对广义方程 \(x^2 - Dy^2 = N\)，一旦有一个特解 \((x_0,y_0)\)，所有解由
     \[
     (x_0 + y_0\sqrt{D})(x_1 + y_1\sqrt{D})^n
     \]
     给出。
 4. **解法的核心思路**  
   - 通过 \(\sqrt{D}\) 的 **连分数展开** 及其收敛分数，找到基本解；
   - 或用 Chakravala 循环法等算法迭代逼近；
   - 本质上都是在寻找“范数为 1 的单位”。
 佩尔方程表面上只是一个简单的二次方程，但它串联了：
 - 古典丢番图方程；
 - 连分数与最优有理逼近；
 - 代数数论中的单位与范数；
 - 算法数论和复杂性问题。
 从历史、理论到算法与应用，都是一个非常典型又极具深度的数学对象。
 ---
 ### References
 [1] Pell's equation. <https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation>  
 [2] Pell equation - AoPS Wiki. <https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Pell_equation>  
 [3] Pell Equation -- Wolfram MathWorld. <https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html>  
 [4] Pell's equation - MacTutor History of Mathematics. <https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pell/>  
 [5] PELL'S EQUATION, I & II, by K. Conrad (PDFs). <https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn1.pdf> / <https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn2.pdf>  
 [6] Continued Fractions and Pell's Equation (various lecture notes). <https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/contfrac/pell.html>  
 [7] Generalized Pell equations and applications (Stanford / UConn handouts). <http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/154Page/handouts/genpell.pdf>  
 [8] Recurrence relations for Pell's equation solutions (MathStackExchange, etc.). <https://math.stackexchange.com/questions/2932750/recurrence-relation-for-pells-equation-x2-2y2-1>  
 [9] On the Brahmagupta–Fermat–Pell Equation. <https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/BrahmaguptaFermatPellEn.pdf>  
 [10] Continued fractions and Pell's equation (expository PDFs). <https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers/Yang.pdf>