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三角形数、五边形数和六边形数之间有一个重要关系：每一个六边形数都是三角形数。具体来说，六边形数 (H_n = n(2n-1)) 等于三角形数 (T_{2n-1} = (2n-1)(2n)/2 = n(2n-1))。因此，问题转化为寻找同时是五边形数和六边形数的数（这样的数自动是三角形数）。
已知 (T_{285} = P_{165} = H_{143} = 40755)，需要找到下一个这样的数。利用五边形数和六边形数的公式，设 (P_k = H_j)，得到方程： [ k(3k-1)/2 = j(2j-1) ] 两边乘以2并整理得： [ 3k^2 - k = 4j^2 - 2j ] 通过配方，引入变量 (u = 6k - 1) 和 (v = 4j - 1)，可将其转化为佩尔方程： [ u^2 - 3v^2 = -2 ] 其中 (u \equiv 5 \pmod{6})，(v \equiv 3 \pmod{4}) 以保证 (k) 和 (j) 为整数。
该方程的解可通过迭代生成：若 ((u, v)) 是一组解，则下一组解为 ((u', v') = (2u + 3v, u + 2v))。从已知解 ((u, v) = (989, 571))（对应 40755）开始，迭代并检查同余条件，得到下一组满足条件的解为 ((191861, 110771))。
由此计算出：
- (k = (u + 1)/6 = 31977)
- (j = (v + 1)/4 = 27693) 对应的数为： [ x = P_k = \frac{k(3k-1)}{2} = \frac{31977 \times 95930}{2} = 1533776805 ] 验证可知该数同时也是六边形数和三角形数。
因此，下一个同时是三角形数、五边形数和六边形数的数是 1533776805。
关于 佩尔方程 （Pell's Equation）
下面从历史来源、基本定义与形式、解的存在性与结构、典型求解方法、解之间的关系、广义佩尔方程及应用等方面，对佩尔方程做一个系统、全面且尽量直观的介绍。
一、历史来源与名称由来
1.1 古印度的起源
佩尔方程实质上起源很早，最系统的早期研究来自古印度数学校派：
-
7世纪的 Brahmagupta（婆罗摩笈多） 就研究了形如
[ x^2 - Dy^2 = 1 \quad\text{或}\quad x^2 - Dy^2 = k ] 的方程。他提出了著名的 “复合公式（composition）”：如果
[ x_1^2 - Dy_1^2 = n_1,\quad x_2^2 - Dy_2^2 = n_2 ] 则 [ (x_1x_2 + D y_1 y_2)^2 - D(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = n_1 n_2 ] 从而可以“复合”已有解构造新解，这是后世单位理论和解结构的雏形。 -
后来的印度数学家如 Bhaskara II、Narayana Pandit 等，发展了著名的 Chakravala（循环法） 算法，这是一种求解佩尔型方程的迭代算法，在计算效率和思想深度上都相当先进[1][2][3]。
1.2 欧洲的再发现与系统化
- 17世纪，Fermat（费马） 在给欧洲同行的挑战中多次提出这类方程，要求找到对
[ x^2 - Dy^2 = 1 ] 的普遍解法。 - 英国数学家 Brouncker（布朗克） 利用连分数方法最早给出了一般解法[1][2][4]。
- 18世纪，Lagrange（拉格朗日） 从连分数理论出发，给出了系统而完整的理论（包括“对任意非平方正整数 D，总存在无穷多解”的严格证明）。
1.3 “佩尔方程”名称的误会
- 18世纪的 Euler（欧拉） 在论述这类方程时，误将相关成果归功于英国数学家 John Pell，而实际上 Pell 本人在该方程上的贡献并不突出。
- 这个误会流传开来，方程被称作“Pell's equation”，中文常译为 佩尔方程[1][3][6][9]。
总结：佩尔方程起源于印度，被费马等人推动进入欧洲视野，拉格朗日完成理论化，最终却误以 Pell 命名。
二、基本定义与形式
2.1 标准佩尔方程
通常所说的“佩尔方程”是指：
[ x^2 - Dy^2 = 1 ]
其中：
- (D) 为正整数，且 不是完全平方数（若为完全平方则问题退化）。
- 要求 (x,y) 为整数（常常关注正整数解）。
若 (D) 是完全平方数，例如 (D = k^2)，则 [ x^2 - k^2 y^2 = (x - ky)(x + ky) = 1 ] 整数解只有平凡解 ((x,y) = (\pm1, 0))，因此在数论中通常只考虑 (D) 非平方的情况。
2.2 负佩尔方程
另一个常见的变体是
[ x^2 - Dy^2 = -1 ]
通常称为 负佩尔方程。是否存在解取决于 (D) 的性质，尤其与 (\sqrt{D}) 的连分数展开 周期长度的奇偶性 有关（下文会提到）。
2.3 广义佩尔方程
再推广一步，可以考虑
[ x^2 - Dy^2 = N ]
其中 (N) 为任意整数。这类方程常称为 广义佩尔方程（generalized Pell equation）[2][3][5][7]。
- 当 (N = 1) 就是标准佩尔方程。
- 当 (N = -1) 即负佩尔方程。
- 一般 (N) 的解的存在性和结构与标准方程的解有密切联系。
三、解的存在性与基本结构
3.1 拉格朗日定理：总有无穷多解
定理（Lagrange）：
对任意非平方正整数 (D)，方程
[
x^2 - Dy^2 = 1
]
在整数中有 无限多组非平凡解 ((x,y))[1][2][3][6]。
这意味着：
- 不仅总有解，而且解集非常丰富。
- 所有正整数解中存在一组最小的正解 ((x_1,y_1))，称为 基本解 / 最小解 / fundamental solution。
- 其他所有正整数解都可以从这组基本解“生成”。
3.2 解的指数结构
一个非常重要的结构结论是：
若 ((x_1, y_1)) 是 (x^2 - Dy^2 = 1) 的基本解，则所有正整数解 ((x_n,y_n)) 可以用 [ x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n,\quad n = 1,2,3,\dots ] 来表示。
其中：
- (n = 1) 时就是基本解；
- 对每个 (n)，((x_n,y_n)) 都是整数解；
- 不同的 (n) 给出互不相同的解。
这实际上利用了二次域 (\mathbb{Q}(\sqrt{D})) 中的“单位”（范数为 1 的代数整数），即： [ N(x + y\sqrt{D}) = (x + y\sqrt{D})(x - y\sqrt{D}) = x^2 - Dy^2 ] 佩尔方程的解正是 范数为 1 的单位元。
四、典型求解方法：为什么连分数如此核心？
佩尔方程最实用、也最经典的求解方法是 连分数法（continued fractions）。其核心在于一个深刻的事实：
(\sqrt{D}) 的连分数展开是周期性的；
佩尔方程的解可以通过其连分数的收敛分数（convergents）获得。
4.1 (\sqrt{D}) 的连分数展开
对于 (D) 非平方，(\sqrt{D}) 是无理数，它的连分数展开形式是
[ \sqrt{D} = [a_0; a_1, a_2, \dots] = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cdots}} ]
且有一个重要结论[1][3][6][10]：
- 该连分数是 纯周期的（自某处起循环）： [ \sqrt{D} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \dots, a_n}] ] 上面的横线表示 ((a_1,\dots,a_n)) 反复循环。
- 这个周期长度 (n)（有时也写作 (\ell)）决定了佩尔方程解的结构，尤其和负佩尔方程是否有解有强关联。
4.2 收敛分数与基本解
连分数的第 (k) 个 收敛分数 (p_k/q_k) 由递推公式给出： [ \begin{cases} p_{-2}=0,; p_{-1}=1 \ q_{-2}=1,; q_{-1}=0 \ p_k = a_k p_{k-1} + p_{k-2} \ q_k = a_k q_{k-1} + q_{k-2} \end{cases} ]
关键事实：
- 对某些 (k)，((x,y)=(p_k,q_k)) 会满足 (x^2 - Dy^2 = \pm 1)。
- 周期长度的奇偶决定我们应看第几个收敛分数来得到基本解。
更具体地（略去严密证明，只给结论）：
- 若周期长度 (n) 为 偶数，则
基本解来自 “周期结束位置”的收敛分数。 - 若周期长度 (n) 为 奇数，则
通常需要看“两个周期”的收敛分数，即更靠后的一项。
典型例子：
(\sqrt{61}) 的连分数为
[
\sqrt{61} = [7; \overline{1,4,3,1,2,2,1,3,4,1,14}]
]
周期长度为 11（奇数），对应的基本解为：
[
x_1 = 1766319049,\quad y_1 = 226153980
]
这是一个非常大的解，说明基本解 可能极其巨大（这在计算理论上非常重要）。
4.3 Chakravala（循环法）
另一个经典方法是印度的 Chakravala algorithm（循环法）[2][3][5]：
- 通过从“近似解”开始，不断调整，使
[ x^2 - Dy^2 = k ] 中的绝对值 (|k|) 逐步缩小，最终达到 (k = \pm1)。 - 每一步更新利用类似 Brahmagupta 复合公式的构造。
- 在很多 (D) 的情形下，它比直接算连分数更高效。
现代教材多以连分数为主，但在历史与算法思想上，Chakravala 非常值得单独研究。
五、解之间的关系与递推公式
5.1 “乘法封闭”与单位群结构
设 ((x_1,y_1)) 和 ((x_2,y_2)) 均是 [ x^2 - Dy^2 = 1 ] 的解，则考虑 [ (x_1 + y_1\sqrt{D})(x_2 + y_2\sqrt{D}) = (x_3 + y_3\sqrt{D}) ]
展开可得： [ x_3 = x_1x_2 + Dy_1y_2,\quad y_3 = x_1y_2 + x_2y_1 ] 可以验证： [ x_3^2 - Dy_3^2 = (x_1^2 - Dy_1^2)(x_2^2 - Dy_2^2) = 1\cdot1 = 1 ] 即：两个解的“乘法”仍是解[2][6][8]。这说明佩尔方程解在运算 [ (x,y) \cdot (x',y') = (x x' + D y y',, x y' + x' y) ] 下形成一个 阿贝尔群，这本质上就是 (\mathbb{Z}[\sqrt{D}]) 中单位元群。
5.2 从基本解生成所有解：指数关系
如前所述，若 ((x_1,y_1)) 是基本解，则 [ x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n ]
因此得到显式递推公式（可由二项式展开得到）：
- 一阶递推： [ \begin{cases} x_{n+1} = x_1 x_n + D y_1 y_n \ y_{n+1} = x_1 y_n + y_1 x_n \end{cases} ]
- 二阶线性递推（只用 (x_n) 自身）： [ x_{n+1} = 2 x_1 x_n - x_{n-1},\quad y_{n+1} = 2 x_1 y_n - y_{n-1} ] 这是因为 ((x_1 + y_1\sqrt{D})) 类似“特征根”，解序列是形如 (\lambda^n) 的线性递推。
这些递推在研究解的增长速度、解中出现“完全幂”等性质时非常有用[8][9]。
六、广义佩尔方程 (x^2 - Dy^2 = N)
6.1 基本结构
广义佩尔方程： [ x^2 - Dy^2 = N ] 其中 (D) 非平方，(N) 为任意整数[2][3][5][7]。
核心事实：
- 若存在 一个整数解 ((x_0,y_0))，且标准佩尔方程有基本解 ((x_1,y_1))，则 所有解都可以写成 [ x + y\sqrt{D} = (x_0 + y_0\sqrt{D})(x_1 + y_1\sqrt{D})^n,\quad n\in\mathbb{Z} ]
- 即：解的集合是“单位群轨道上的一个整点”。
更直观地说：
- 先解标准方程 (x^2 - Dy^2 = 1)，求出单位元 (u = x_1 + y_1\sqrt{D})；
- 若能找到一个满足 (x^2 - Dy^2 = N) 的特解 (v = x_0 + y_0\sqrt{D})，
- 则所有解都是 (v, uv, u^2 v, u^3 v, ...) 这一无限序列中的整数点。
6.2 解的存在性与条件
- 广义方程并不总有解，它的可解性与模 (D) 的二次剩余、类群结构等深层理论有关。
- 一旦有一个解，通常便会有无穷多解，这是因为可以不断乘以单位元 (u)。
在具体计算中，常先通过模数检查、有限搜索或用连分数辅助找到一个特解，再用标准佩尔方程的单位元生成全部解。
七、佩尔方程通常解决或涉及哪些问题？
佩尔方程本身就是经典的丢番图问题，但它也广泛出现在以下情景中：
7.1 有理逼近与“最佳逼近”
- 连分数理论告诉我们：连分数的收敛分数 (p_k/q_k) 给出对实数 (\alpha) 的 最佳有理逼近。
- 对 (\alpha = \sqrt{D}) 而言，满足 [ \left| \sqrt{D} - \frac{x}{y} \right| ] 非常小的分数 (\frac{x}{y}) 常常来自佩尔方程解，因为若 [ x^2 - Dy^2 = \pm 1 ] 则 [ \left|\sqrt{D} - \frac{x}{y}\right| = \left|\frac{x^2 - Dy^2}{y(\sqrt{D} + x/y)}\right| \approx \frac{1}{2 \sqrt{D} y^2} ]
- 因此，佩尔方程的解经常用于构造对平方根的极优有理近似。
7.2 二次域与代数数论中的单位问题
在二次代数数域 (\mathbb{Q}(\sqrt{D})) 中：
- 环 (\mathbb{Z}[\sqrt{D}]) 的单位元集合与佩尔方程的解一一对应： [ N(x + y\sqrt{D}) = x^2 - Dy^2 = \pm 1 ]
- 研究单位元结构（Dirichlet 单位定理的特例）即是在研究佩尔方程。
- 类数、理想分解、模形式等更高阶理论中，都频繁出现佩尔方程及其广义形式[3][7][9]。
7.3 组合、几何与图论中的出现
- 一些关于 整数点格、几何图形面积 的问题会转化为方程 (x^2 - Dy^2 = N)；
- 在某些组合结构（例如 dessins d'enfants 的不变量研究）中也出现佩尔方程[7]。
7.4 密码学与算法复杂度
- 佩尔方程提供了构造巨大整数对的自然途径，可用于某些密码构造或伪随机数生成；
- 同时也出现在对某些加密算法的攻击分析中；
- 在计算复杂性研究中，用来测试数论算法的效率。
八、具体例子与直观体会
8.1 小 D 的基本解示例
根据理论和连分数计算，可得到若干典型 D 的基本解（这里列出部分）[1][2][3][6]：
| (D) | 基本解 ((x_1, y_1)) |
|---|---|
| 2 | (3, 2) |
| 3 | (2, 1) |
| 5 | (9, 4) |
| 6 | (5, 2) |
| 7 | (8, 3) |
| 8 | (3, 1) |
| 10 | (19, 6) |
| 11 | (10, 3) |
| 12 | (7, 2) |
| 14 | (15, 4) |
| 15 | (4, 1) |
| 17 | (33, 8) |
| 18 | (17, 4) |
| 19 | (170, 39) |
| 20 | (9, 2) |
| 21 | (55, 12) |
| 22 | (197, 42) |
| 23 | (24, 5) |
| 24 | (5, 1) |
| 28 | (127, 24) |
| 31 | (1520, 273) |
| 43 | (3482, 531) |
| 46 | (24335, 3588) |
| 61 | (1766319049, 226153980) |
可以看到：
- 有的 (D)（如 2,3,5）基本解较小；
- 有的 (D)（如 61）基本解极大，这正是为什么佩尔方程在计算机上求解仍然具有挑战性。
8.2 利用递推获得更高阶解的感受
以 (D = 2) 为例，方程 [ x^2 - 2y^2 = 1 ] 基本解为 ((3,2))。则第二个解由 [ x_2 + y_2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2} ] 即 ((x_2,y_2) = (17,12))，验证： [ 17^2 - 2\cdot 12^2 = 289 - 288 = 1 ] 第三个解： [ (3 + 2\sqrt{2})^3 = 99 + 70\sqrt{2} \Rightarrow (x_3,y_3) = (99,70) ] 解的规模指数增长，这种指数级膨胀是佩尔方程序列的一大特征。
九、总结：佩尔方程的内涵与价值
综合上述内容，可以从几个角度理解佩尔方程的“全貌”：
-
来源
- 起源于古印度的丢番图方程研究，是 Brahmagupta–Bhaskara–Chakravala 传统的重要对象；
- 17世纪由 Fermat 挑战推动，Brouncker 首给欧洲解法，18世纪 Lagrange 完成理论统一；
- 名称源自 Euler 的误归功，John Pell 实际贡献有限。
-
通常解决的问题
- 经典丢番图问题：给定非平方 (D)，求所有整数解 ((x,y)) 使 (x^2 - Dy^2 = 1)；
- 给出 (\sqrt{D}) 的最佳有理逼近；
- 在二次代数数域中，描述环 (\mathbb{Z}[\sqrt{D}]) 的单位元结构；
- 为广义方程 (x^2 - Dy^2 = N) 提供单位群背景，从而刻画其全部解；
- 在密码学、几何、图论等领域，作为子问题或工具频繁出现。
-
解的关系与结构
- 存在唯一（在正象限）的最小正解 ((x_1,y_1))，称为基本解；
- 所有解满足 [ x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n ] 呈现指数结构；
- 两个解的“乘积”仍是解，形成单位群，递推关系 [ x_{n+1} = x_1x_n + Dy_1y_n,\quad y_{n+1} = x_1y_n + y_1x_n ] 或二阶线性递推形式；
- 对广义方程 (x^2 - Dy^2 = N)，一旦有一个特解 ((x_0,y_0))，所有解由 [ (x_0 + y_0\sqrt{D})(x_1 + y_1\sqrt{D})^n ] 给出。
-
解法的核心思路
- 通过 (\sqrt{D}) 的 连分数展开 及其收敛分数，找到基本解；
- 或用 Chakravala 循环法等算法迭代逼近；
- 本质上都是在寻找“范数为 1 的单位”。
佩尔方程表面上只是一个简单的二次方程，但它串联了：
- 古典丢番图方程；
- 连分数与最优有理逼近；
- 代数数论中的单位与范数；
- 算法数论和复杂性问题。
从历史、理论到算法与应用，都是一个非常典型又极具深度的数学对象。
References
[1] Pell's equation. https://en.wikipedia.org/wiki/Pell's_equation
[2] Pell equation - AoPS Wiki. https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Pell_equation
[3] Pell Equation -- Wolfram MathWorld. https://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html
[4] Pell's equation - MacTutor History of Mathematics. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Pell/
[5] PELL'S EQUATION, I & II, by K. Conrad (PDFs). https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn1.pdf / https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/pelleqn2.pdf
[6] Continued Fractions and Pell's Equation (various lecture notes). https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/contfrac/pell.html
[7] Generalized Pell equations and applications (Stanford / UConn handouts). http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/154Page/handouts/genpell.pdf
[8] Recurrence relations for Pell's equation solutions (MathStackExchange, etc.). https://math.stackexchange.com/questions/2932750/recurrence-relation-for-pells-equation-x2-2y2-1
[9] On the Brahmagupta–Fermat–Pell Equation. https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/BrahmaguptaFermatPellEn.pdf
[10] Continued fractions and Pell's equation (expository PDFs). https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers/Yang.pdf