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方法1：倒算
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- N = a_n ; D = 1
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- k:(n-1 → 0) => N,D = a_k*N+D ,N
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- 最后： gcd(N,D) 约分
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方法2：正算
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正算如何成立呢？这个我还没有很好的想法。
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```
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p2, p1 = 0, 1 # p_{-2}, p_{-1}
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q2, q1 = 1, 0 # q_{-2}, q_{-1}
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for a in cf:
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p = a * p1 + p2
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q = a * q1 + q2
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p2, p1 = p1, p
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q2, q1 = q1, q
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# 结果就是 p1 / q1
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```
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广义连分数
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形式为：
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$b_0+\frac{a_1}{b_1+\frac{a_2}{b_2+\cdots+\frac{a_n}{b_n}}}$
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用递推：
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$A_{-1}=1,\quad A_0=b_0$
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$B_{-1}=0,\quad B_0=1$
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对 $k=1,\dots,n$ ：
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$A_k=b_kA_{k-1}+a_kA_{k-2}$
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$B_k=b_kB_{k-1}+a_kB_{k-2}$
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最后：
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$\text{值}=\frac{A_n}{B_n}$
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简单连分数只是 $b_0=a_0,\ b_k=a_k,\ a_k=1$ 的特殊情况。
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## 1. 从最直观的“从后往前”看
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简单连分数：
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$$
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[a_0;a_1,\dots,a_n]
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=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\cdots+\frac1{a_n}}}
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$$
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如果从最里面往外算，设当前尾部的值为：
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$$
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T_k=[a_k;a_{k+1},\dots,a_n]=\frac{N_k}{D_k}
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$$
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那么往外加一层 $a_{k-1}$，就变成：
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$$
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T_{k-1}=a_{k-1}+\frac1{T_k}
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=a_{k-1}+\frac1{N_k/D_k}
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=a_{k-1}+\frac{D_k}{N_k}
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$$
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通分：
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$$
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T_{k-1}=\frac{a_{k-1}N_k+D_k}{N_k}
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$$
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所以：
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$$
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N_{k-1}=a_{k-1}N_k+D_k,\qquad D_{k-1}=N_k
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$$
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这就是从后往前的递推：
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$$
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(N,D)\leftarrow (aN+D,\;N)
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$$
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它的道理非常直接：
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**连分数每往外加一层，就是做一次 $x\mapsto a+1/x$。**
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如果 $x=N/D$，那么：
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$$
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a+\frac1x=a+\frac DN=\frac{aN+D}{N}
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$$
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所以分子变成 $aN+D$，分母变成原来的分子 $N$。
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## 2. 从前往后的 $p,q$ 递推为什么也对？
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从前往后定义收敛项：
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$$
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\frac{p_k}{q_k}=[a_0;a_1,\dots,a_k]
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$$
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递推公式是：
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$$
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p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}
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$$
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$$
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q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}
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$$
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初始条件：
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$$
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p_{-2}=0,\quad p_{-1}=1
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$$
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$$
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q_{-2}=1,\quad q_{-1}=0
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$$
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这个递推看起来像是突然出现的，但它其实来自矩阵乘法。
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## 3. 关键：线性分式变换与矩阵表示
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考虑变换：
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$$
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f_a(x)=a+\frac1x
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$$
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它可以写成：
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$$
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f_a(x)=\frac{ax+1}{x}
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$$
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这种形式叫线性分式变换。它可以对应一个 $2\times 2$ 矩阵：
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$$
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f_a \longleftrightarrow M(a)=
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\begin{pmatrix}
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a & 1\\
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1 & 0
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\end{pmatrix}
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$$
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为什么？因为线性分式变换：
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$$
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x\mapsto \frac{Ax+B}{Cx+D}
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$$
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对应矩阵：
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$$
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\begin{pmatrix}
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A & B\\
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C & D
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\end{pmatrix}
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$$
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而 $a+1/x=(ax+1)/(1x+0)$，所以矩阵就是：
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$$
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\begin{pmatrix}
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a & 1\\
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1 & 0
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\end{pmatrix}
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$$
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线性分式变换有个重要性质：
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**复合两个线性分式变换，对应矩阵相乘。**
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也就是说：
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$$
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f_{a_0}(f_{a_1}(x))
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$$
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对应矩阵：
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$$
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M(a_0)M(a_1)
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$$
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于是整个连分数：
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$$
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[a_0;a_1,\dots,a_n]
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$$
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对应矩阵乘积：
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$$
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M(a_0)M(a_1)\cdots M(a_n)
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$$
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## 4. 矩阵乘积展开就是递推
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设：
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$$
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M(a_0)M(a_1)\cdots M(a_k)
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=
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\begin{pmatrix}
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p_k & p_{k-1}\\
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q_k & q_{k-1}
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\end{pmatrix}
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$$
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当 $k=-1$ 时，空乘积是单位矩阵：
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$$
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\begin{pmatrix}
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1 & 0\\
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0 & 1
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\end{pmatrix}
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$$
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可以对应：
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$$
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p_{-1}=1,\quad p_{-2}=0,\quad q_{-1}=0,\quad q_{-2}=1
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$$
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现在右乘一个 $M(a_k)$：
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$$
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\begin{pmatrix}
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||
p_{k-1} & p_{k-2}\\
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||
q_{k-1} & q_{k-2}
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||
\end{pmatrix}
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||
\begin{pmatrix}
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||
a_k & 1\\
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||
1 & 0
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||
\end{pmatrix}
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||
=
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\begin{pmatrix}
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||
a_kp_{k-1}+p_{k-2} & p_{k-1}\\
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||
a_kq_{k-1}+q_{k-2} & q_{k-1}
|
||
\end{pmatrix}
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$$
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所以新的左上角就是：
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$$
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p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}
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$$
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新的左下角就是：
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$$
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q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}
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$$
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这正是从前往后的递推公式。
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最后，矩阵乘积作用在无穷大上：
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$$
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\begin{pmatrix}
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p_n & p_{n-1}\\
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||
q_n & q_{n-1}
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\end{pmatrix}
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(\infty)
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=
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\frac{p_n}{q_n}
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$$
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所以：
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$$
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[a_0;a_1,\dots,a_n]=\frac{p_n}{q_n}
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$$
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## 5. 总结一句话
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递推之所以成立，是因为：
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$$
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a+\frac1x=\frac{ax+1}{x}
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$$
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每一步都是同一个线性分式变换。
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线性分式变换复合对应矩阵相乘，而矩阵相乘展开后，自然得到：
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$$
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p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2}
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$$
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$$
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q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}
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$$
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从后往前算，是直接反复做 $N,D\leftarrow aN+D,N$；
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从前往后算，是用 $p,q$ 递推维护当前收敛项的分子分母。
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两者本质上是同一件事，只是计算方向不同。
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广义连分数也一样，如果每层是：
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$$
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b_k+\frac{a_k}{x}
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$$
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它对应矩阵：
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$$
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\begin{pmatrix}
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||
b_k & a_k\\
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1 & 0
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||
\end{pmatrix}
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$$
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递推就变成：
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$$
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||
A_k=b_kA_{k-1}+a_kA_{k-2}
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$$
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$$
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B_k=b_kB_{k-1}+a_kB_{k-2}
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$$
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简单连分数只是 $b_k=a_k,\ a_k=1$ 的特殊情况。 |