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欧拉计划第52题（排列倍数）的答案是 142857。
最快的数学计算方式基于以下三大核心数学原理的级联优化：
1. 位数约束原理（范围剪枝）
数学基础：若 x 与 6x 位数相同，则必须满足：
10^{n-1} \leq x < \frac{10^n}{6} \approx 1.666... \times 10^{n-1}
这直接排除了 60\% 以上的搜索空间。例如6位数时，只需检查 [100000, 166666) 区间，而非 $[100000, 1000000)$。
2. 模9同余原理（整除筛选）
数学基础：数字和与模9同余（数根理论）。若 x 与 kx 是数字排列，则：
\sum \text{digits}(x) \equiv x \pmod{9} \equiv kx \equiv \sum \text{digits}(kx) \pmod{9}
由此推出 $(k-1)x \equiv 0 \pmod{9}$。取 $k=2$，得：
x \equiv 0 \pmod{9}
关键优化：只需检查9的倍数，搜索空间再缩减 $89%$。
3. 规范形签名原理（排列判定）
数学基础：两个数是排列 ⟺ 它们的数字频数向量（Digit Histogram）相同。
不采用字符串排序（$O(d \log d)$），而是用计数数组作为规范签名（$O(d)$）：
def signature(n):
count = [0] * 10
while n:
count[n % 10] += 1
n //= 10
return tuple(count) # 如142857 → (1,1,1,1,1,1,0,1,0,0)的某种编码
最优算法实现（Python）
def euler52():
n = 1
while True:
start = 10**(n-1)
# 核心约束：x * 6 必须仍是n位数
end = int(10**n / 6) + 1
# 步长为9：利用模9同余原理
for x in range((start + 8) // 9 * 9, end, 9):
sig = signature(x)
# 检查2x到6x是否共享相同签名
if all(signature(k * x) == sig for k in range(2, 7)):
return x
n += 1
# 结果：142857（即1/7的小数循环节）
复杂度：对于 n 位数，候选量从 9 \times 10^{n-1} 降至约 $0.074 \times 10^{n-1}$，配合 O(n) 的签名比较，可在微秒级求解。
深层数学结构
解 142857 并非偶然，它是循环数（Cyclic Number），与 1/7 = 0.\overline{142857} 的小数展开密切相关。其性质源于 10 是模 7 的原根，导致 2/7, 3/7...6/7 的循环节恰好是 142857 的轮换排列。