动态规划法
核心思路
这个函数采用动态规划的思想，通过构建一个 ways 数组来累积计算每个金额对应的方法数。
逐行解析
1. 初始化
coins = [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200]
ways = [1] + [0] * 200 # 结果是 [1, 0, 0, 0, ..., 0] (共201个元素)
coins: 所有可用的硬币面值（单位：便士）ways[i]: 表示凑成金额i的方法数- 关键点：
ways[0] = 1表示凑成0元有1种方法（什么都不用），这是动态规划的基准条件
2. 双重循环的核心逻辑
for coin in coins: # 按顺序遍历每种硬币
for i in range(coin, 201): # 从当前硬币面值遍历到200
ways[i] += ways[i - coin]
这就是状态转移方程，其含义是：
凑成金额
i的方法数 = 原来方法数 + 使用当前硬币的方法数
其中 ways[i - coin] 表示：在使用了1枚当前硬币后，凑齐剩余金额的方法数。
具体执行过程演示
让我们跟踪计算前几个值的变化，以理解算法如何工作：
初始状态
ways = [1, 0, 0, 0, 0, 0, ...] # ways[0]=1
第1轮：使用硬币 1p
for i in range(1, 201):
ways[i] += ways[i-1]
i=1:ways[1] += ways[0]→0 + 1 = 1✓ 凑1p: {1}i=2:ways[2] += ways[1]→0 + 1 = 1✓ 凑2p: {1,1}i=3:ways[3] += ways[2]→0 + 1 = 1✓ 凑3p: {1,1,1}- ...
- 结果：只用1p硬币，每个金额都有且仅有1种方法
第2轮：加入硬币 2p
for i in range(2, 201):
ways[i] += ways[i-2]
关键更新点：
i=2:ways[2] += ways[0]→1 + 1 = 2- 原来：{1,1}
- 新增：{2}
i=3:ways[3] += ways[1]→1 + 1 = 2- 原来：{1,1,1}
- 新增：{1,2}
i=4:ways[4] += ways[2]→1 + 2 = 3- 原来：{1,1,1,1}
- 新增：{1,1,2}, {2,2}
第3轮：加入硬币 5p
当加入5p硬币后，凑5p的方法从1种 {1,1,1,1,1} 变成2种，新增 {5}。
以此类推，直到处理完所有硬币类型。
为什么这样计算？
这个算法的精妙之处在于：
-
按硬币顺序处理：确保计算的是组合数（不考虑顺序）
- {1,2,2} 和 {2,1,2} 视为同一种方法
- 如果调换循环顺序（先金额后硬币），会计算出排列数
-
累积效应：
ways数组保存的是所有已处理硬币能凑成的方法总数 -
避免重复：每种硬币只被考虑一次在其对应的外层循环中，确保不重复计算
最终结果
当循环结束后，ways[200] 的值就是 200（便士）能被凑成的所有方法数。
print(f"\nThe number of ways to make £2 is {ways[200]:,d}")
输出结果是：73682
这意味着用这8种英国硬币凑成2英镑共有73,682种不同的方式。
时间复杂度
- O(N×M)：其中 N = 硬币种类数（8），M = 目标金额（200）
- 实际计算量约为 8 × 200 = 1600 次操作，效率极高
这个算法简洁优雅，展示了动态规划在组合计数问题中的强大威力。