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# 埃拉托斯特尼筛法
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埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）是最古老、最优雅的质数筛选算法，
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由古希腊数学家埃拉托斯特尼在公元前3世纪提出。
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### **核心思想**
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**" multiples of primes are composite "**
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（质数的倍数都是合数）
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从2开始，逐个标记每个质数的所有倍数为非质数，剩下的未标记数就是质数。
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### **算法步骤**
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**示例：找出 ≤30 的所有质数**
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1. **初始化**：列出 2 到 30 的所有整数
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2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
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```
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2. **筛选过程**：
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- **p=2**：保留2，标记所有2的倍数（4,6,8...）
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- **p=3**：下一个未标记的是3，保留3，标记3的倍数（6,9,12...）
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- **p=5**：下一个未标记的是5，保留5，标记5的倍数（10,15,20,25,30）
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- **p=7**：7²=49 > 30，停止
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3. **结果**：剩下的未标记数
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2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
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### **关键优化点**
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**只需筛到 √n**：
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要找出 ≤n 的所有质数，只需检查到 √n 即可。
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**证明**：任何合数 m ≤ n 必有一个质因数 ≤ √n，否则 m = p₁×p₂ > √n×√n = n，矛盾。
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### **正确实现（Python）**
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```python
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def sieve(n):
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"""返回所有小于等于n的质数"""
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if n < 2:
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return []
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sieve = [True] * (n + 1)
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sieve[0:2] = [False, False] # 0和1不是质数
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for p in range(2, int(n**0.5) + 1):
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if sieve[p]:
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# 从p²开始标记，更小的倍数已被前面的质数标记过
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sieve[p*p:n+1:p] = [False] * ((n - p*p) // p + 1)
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return [i for i, is_prime in enumerate(sieve) if is_prime]
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```
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### **复杂度分析**
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| 指标 | 复杂度 | 说明 |
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|------|--------|------|
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| **时间** | O(n log log n) | 近乎线性，非常高效 |
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| **空间** | O(n) | 需要布尔数组存储每个数 |
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**推导**：
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质数p会标记 n/p 个数，总操作量 ≈ n×(1/2 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/p_k)
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根据质数定理，该和式 ≈ n log log n
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### **进阶优化技巧**
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1. **仅筛奇数**：偶数除了2都不是质数，内存减半
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```python
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sieve = [True] * ((n + 1) // 2)
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# 索引i对应数字 2*i+1
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```
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2. **位压缩**：用bit array而非bool，内存再降8倍
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```python
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from bitarray import bitarray
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sieve = bitarray(n + 1)
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sieve.setall(True)
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```
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3. **分段筛选**：当n极大（>10⁸）时，分段加载到缓存
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### **适用场景**
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✅ **适合**：
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- 需要一次性生成大量质数
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- 频繁查询范围内的质数
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- n在百万到千万级别
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❌ **不适合**：
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- 只需判断单个数是否为质数
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- n极大（>10¹⁰）且内存有限
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- 仅需要第n个质数而非全部
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分段筛法：当n极大（>10⁸）时，分段加载到缓存，减少内存占用。
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```python
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def segmented_nth_prime(n, segment_size=100000):
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# 先用小筛法生成基础质数
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base_limit = int((n * (log(n) + log(log(n))))**0.5) + 1
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base_primes = sieve_primes(base_limit)
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count = len(base_primes)
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if count >= n:
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return base_primes[n-1]
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low = base_limit
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while True:
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high = low + segment_size
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segment = [True] * segment_size
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for p in base_primes:
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start = ((low + p - 1) // p) * p
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if start < p * p:
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start = p * p
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for multiple in range(start, high, p):
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segment[multiple - low] = False
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for i, is_p in enumerate(segment):
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if is_p and i + low > 1:
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count += 1
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if count == n:
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return i + low
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low = high
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```
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生产环境推荐使用 pyprimesieve 库
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```python
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# 生产环境推荐使用 pyprimesieve 库
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# pip install pyprimesieve
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from pyprimesieve import nth_prime
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print(nth_prime(10**7))
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```
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