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文章
热带数学
大卫·斯皮尔 麻省理工学院 剑桥，马萨诸塞州 02139 speyer@math.mit.edu
伯恩德·斯特姆费尔斯 加州大学伯克利分校 伯克利，加利福尼亚州 94720 bernd@math.berkeley.edu
本文基于伯恩德·斯特姆费尔斯于2004年7月22日在犹他州帕克城所作的克莱数学高级学者讲座。该讲座的主题是数学中的热带方法。彼时，这一方法尚处萌芽阶段，但此后已发展成熟，如今已成为几何组合学与代数几何中不可或缺的一部分。其应用更延伸至数学物理、数论、辛几何、计算生物学等诸多领域。我们将对这一学科作基础性介绍，内容涵盖算术、多项式、曲线、系统发育学及线性空间。每一章节末尾均附有进一步研究的建议，所提问题尤其适合本科生探讨。文末参考文献亦列出大量该领域的延伸阅读资料。
“热带”这一形容词由法国数学家首创，其中包括让-埃里克·品[16]，旨在纪念他们的巴西同事伊姆雷·西蒙[19]——西蒙可谓“极小-加法代数”领域的先驱之一。“热带”一词本身并无深奥含义，它仅仅代表了法国人对巴西的浪漫印象。
算术
我们研究的基本对象是热带半环 $(\mathbb{R}\cup {\infty } ,\oplus ,\odot)$。作为集合，它由实数集 \mathbb{R} 外加一个代表无穷大的元素 \infty 构成。然而，我们重新定义了实数加法与乘法这两种基本算术运算，具体如下：
$x\oplus y\coloneqq \min (x,y)\qquad \text{和}\qquad x\odot y\coloneqq x + y$。
换言之，两数的热带和取其最小值，而两数的热带积则取其和。以下举例说明如何在这一奇特的数系中进行运算：3与7的热带和为3，热带积则为10。我们将其记作：
3\oplus 7 = 3\qquad \text{和}\qquad 3\odot 7 = 10.
许多熟悉的算术公理在热带数学中依然成立。例如，加法与乘法均满足交换律：
x\oplus y = y\oplus x\qquad \text{和}\qquad x\odot y = y\odot x.
分配律亦适用于热带乘法对热带加法的运算：只要遵循通常的运算顺序——先完成热带积运算，再进行热带和运算——则右侧无需括号。以下用数值示例说明：
x\odot (y\oplus z) = x\odot y\oplus x\odot z,
3\odot (7\oplus 11) = 3\odot 7 = 10,
3\odot 7\oplus 3\odot 11 = 10\oplus 14 = 10.
两种算术运算均存在单位元。无穷大是加法的单位元，零则是乘法的单位元：
x\oplus \infty = x\qquad \text{和}\qquad x\odot 0 = x.
小学生往往更偏爱热带算术，因为其乘法表更易记忆，甚至连长除法也变得简单。以下是热带加法表与热带乘法表：
\oplus |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 |
| 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
\odot |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
注意到对于所有 $x, y \in \mathbb{R}$，下列等式在经典算术中均成立，由此可轻松验证上述三个恒等式：
3 \cdot \min \{x, y\} = \min \{3x, 2x + y, x + 2y, 3y\} = \min \{3x, 3y\} .
研究问题 热带半环可推广至高维情形：(\mathbb{R}^{n} 中的凸多面体集合，若取 \odot 为“闵可夫斯基和”、\oplus 为“并集的凸包”，便可构成一个半环。其中，所有具有固定回收锥 C 的多面体构成一个自然的子代数。当 n = 1 且 C=\mathbb{R}_{\geq 0} 时，此结构即为热带半环。我们的目标是在这类半环上建立线性代数与代数几何理论，并开发高效算法软件，以处理 n \geq 2 时多面体的算术运算。
多项式
令 x_{1}, \ldots, x_{n} 为表示热带半环 (\mathbb{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \odot) 中元素的变量。单项式是这些变量的任意乘积（允许重复）。借助交换律与结合律，我们可对乘积进行排序，并沿用通常的指数记法书写单项式——仅需注意，在上下文中 x_{1}^{2} 意指 $x_{1} \odot x_{1}$，而非通常的乘法 $x_{1} \cdot x_{1}$。每个单项式对应一个从 \mathbb{R}^{n} 到 \mathbb{R} 的函数。若以经典算术方式求值，该函数实为线性函数：
x_{2} \odot x_{1} \odot x_{3} \odot x_{1} \odot x_{4} \odot x_{2} \odot x_{3} \odot x_{2} = x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{2} x_{4},
x_{2} + x_{1} + x_{3} + x_{1} + x_{4} + x_{2} + x_{3} + x_{2} = 2x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} + x_{4}.
尽管之前的例子都采用了正指数，但这一限制并非必需，因此我们允许指数为负整数，从而使得所有具有整数系数的线性函数都能以此形式表示。
事实1. 热带单项式即指具有整数系数的线性函数。
热带多项式是热带单项式的有限线性组合：
p(x_{1}, \ldots , x_{n}) = a \odot x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \cdots x_{n}^{i_{n}} \oplus b \odot x_{1}^{j_{1}} x_{2}^{j_{2}} \cdots x_{n}^{j_{n}} \oplus \cdots
其中系数 a, b, \ldots 为实数，指数 i_{1}, j_{1}, \ldots 为整数。每个热带多项式对应一个函数 $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$。若用经典算术方式求值，所得结果实为一组有限线性函数的最小值，亦即该函数
p(x_{1}, \ldots , x_{n}) = \min \left(a + i_{1} x_{1} + \cdots + i_{n} x_{n},\; b + j_{1} x_{1} + \cdots + j_{n} x_{n},\; \ldots\right).
p: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 具有以下三个重要性质：
p是连续的；p是分段线性的，且分段数目有限；p是凹函数，即对所有 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$，满足 $p\left(\frac{\mathbf{x} + \mathbf{y}}{2}\right) \geq \frac{1}{2} \bigl(p(\mathbf{x}) + p(\mathbf{y})\bigr)$。
已知任何满足这三条性质的函数，皆可表示为有限个线性函数的最小值。由此可得结论：
事实 2. 在 n 个变量 x_{1}, \ldots, x_{n} 上的热带多项式，恰好就是定义在 \mathbb{R}^{n} 上、具有整数系数的分段线性凹函数。
作为第一个例子，考虑单变量 x 的一般三次多项式。为了绘制这个函数的图像，我们在 (x, y) 平面上画出四条直线：$y = 3x + a$，$y = 2x + b$，$y = x + c$，以及水平线 $y = d$。p(x) 的值是使得点 (x, y) 位于这四条直线之一上的最小 y 值；也就是说，p(x) 的图像就是这些直线的下包络。如果满足条件
p(x) = a \odot x^{3} \oplus b \odot x^{2} \oplus c \odot x \oplus d, \quad (1)
b - a \leq c - b \leq d - c, \quad (2)
那么所有四条直线实际上都会对图像有所贡献。这三个 x 的值是 p(x) 不再保持线性的断点，并且该三次多项式可以相应地分解为三个线性因子：
p(x) = a \odot (x \oplus (b - a)) \odot (x \oplus (c - b)) \odot (x \oplus (d - c)). \quad (3)
三次多项式 p(x) 的图像及其根见图1。
每个热带多项式函数都可以唯一地表示为热带线性函数的热带乘积（换言之，代数基本定理在热带意义下依然成立）。在这一陈述中，我们必须强调“函数”这个词。不同的多项式可以表示同一个函数。我们并非声称每个多项式都能分解为线性多项式的乘积，而是主张：每个多项式都可以被一个等价的、表示同一函数的多项式所替代，并且该等价多项式可以分解为线性因子。例如，以下多项式表示同一个函数：
x^{2} \oplus 17 \odot x \oplus 2 = x^{2} \oplus 1 \odot x \oplus 2 = (x \oplus 1)^{2}.
当变量增加到两个或更多时，多项式的唯一分解性不再成立。此时的情况更为有趣。理解它便是我们接下来的课题。
研究问题：将多元热带多项式分解为不可约热带多项式的结果并不唯一。这里有一个简单的例子：
(0 \odot x \oplus 0) \odot (0 \odot y \oplus 0) \odot (0 \odot x \odot y \oplus 0)
\qquad = (0 \odot x \odot y \oplus 0 \odot x \oplus 0) \odot (0 \odot x \odot y \oplus 0 \odot y \oplus 0).
请开发一种算法（附实现与复杂度分析），用于计算给定热带多项式的所有不可约分解。高和劳德[8]已证明，热带分解对于经典意义上的多元多项式因式分解问题具有重要意义。
曲线
一个热带多项式函数 p: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} 定义为有限个线性函数的最小值。我们将超曲面 \mathcal{H}(p) 定义为所有满足以下条件的点 \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} 的集合：在该点处，该最小值至少由两个线性函数同时取得。等价地说，点 \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} 属于 \mathcal{H}(p) 当且仅当 p 在 \mathbf{x} 处不是线性的。例如，若 n = 1 且 $$为满足假设(2)的(1)式中的三次多项式，则
\mathcal{H}(p) = \{b - a, c - b, d - c\}.
因此，超曲面 \mathcal{H}(p) 就是多项式 $(x)$的“根”的集合。
在本节中，我们考虑两个变量的多项式情形：
p(x, y) = \bigoplus_{(i,j)} c_{ij} \odot x^{i} \odot y^{j}.
事实 3. 对于二元多项式 $p$，其对应的热带曲线 $\mathcal{H}(p)$是嵌入平面 $athbb{R}^{2}$的一个有限图。该图既包含有界边，也包含无界边，所有边的斜率均为有理数，并且图在每一个节点处均满足如下所述的零张力条件：
考虑图的任意节点 $(x,y)$，不妨将其取为原点 $(0,0)$那么与该节点相邻的边均位于具有有理斜率的直线上。在从原点出发的每一条这样的射线上，取最小的非零格点向量。在 $(x,y)$的零张力即意味着这些向量的和为零。
我们的第一个例子是平面上的一条直线。它由以下多项式定义：
p(x,y) = a \odot x \oplus b \odot y \oplus c \qquad \mathrm{其中} \ a, b, c \in \mathbb{R}.
曲线 \mathcal{H}(p) 由所有使得函数
p: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}, \qquad (x,y) \mapsto \min \bigl( a + x, \, b + y, \, c \bigr)
非线性的点 (x,y) 构成。它由从点 $x,y) = (c - a, c - b)$出发、分别指向正北、正东和西南方向的三个半射线组成。零张力条件体现为 (0,0) + (0,1) + (-1,-1) = (0,0)
下面是在平面上绘制热带曲线 \mathcal{H}(p) 的一般方法。考虑出现在多项式 $$中的任意一项 ($amma \odot x^{i} \odot y^{j})$们用 \thbb{R}^{3} 点 (($mma, i, j)) 来$该项，并计算这些点在 (\ma$bb{R}^{3}) 中的$。然后，将该凸包的下包络通过映射 (\mat$b{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2})，即 $\gamma, i, j) \mapsto (i, j))，投影到平。所得图像是一个平面凸多边形，并带有一个划分 \(\Delt)，将其细分为$的多边形。热带曲线 (\mathc${H}(p))（实际上是它的$形式”）就是这个细分 (\Delta$的对偶图。回忆$，平面图的对偶图是另一个平面图，其顶点对应于原图的各个区域，而边则表示区域之间的相邻关系。
举一个例子，我们考虑一般二次多项式
p(x,y) = a \odot x^{2} \oplus b \odot xy \oplus c \odot y^{2} \oplus d \odot x \oplus e \odot y \oplus f.
此时，\Delta 是以 $0,0)$(,2)\) (($0)) 点的三角形的一个细分。格点 \((0))、$1,0))、(,1) 可被用$细分的顶点。假设 (a, b$c, d, e, f \in \mathbb{R}) 满足条件$
2b \leq a + c, \quad 2d \leq a + f, \quad 2e \leq c + f,
那么细分 \Delta 由四个三角形、三条内部边和六条边界边构成。曲线 $mathcal{H}(p)$则有四个顶点、三条有界边和六条半射线（两条向北、两条向东、两条向西南）。在图 2 中，我们用带箭头的粗线标示了二次曲线 ($athcal{H}(p))$负形式。它是细分 ($lta) $偶图，而 (\D$ta) 本$以细线绘出。
事实 4. 热带曲线的相交与插值性质与代数曲线类似。
1.两条一般直线交于一点，一条直线与一条二次曲线交于两点，两条二次曲线交于四点，依此类推。2. 过两个一般点有唯一一条直线，过五个一般点有唯一一条二次曲线，依此类推。
关于热带代数几何中贝祖定理的一般性讨论（见本刊封面图示），可参阅文献 [17]。
研究问题：对三维空间中度数为 d 的热带曲线的所有组合类型进行分类。此类曲线是一个有限嵌入图，其形式为
C = \mathcal{H}(p_{1}) \cap \mathcal{H}(p_{2}) \cap \dots \cap \mathcal{H}(p_{r}) \subset \mathbb{R}^{3},
其中 p_{i} 为热带多项式，$$在四个坐标方向上各有 ($)无界平行半射线，而 \(C $有其余边均为有界。
系统发育学
计算生物学中的一个重要问题，是根据涉及 n 个叶片的距离数据构建系统发育树。在生物学家的术语中，叶片的标签称为分类单元。这些分类单元可能是生物体或基因，每个均以
DNA 序列表示。关于系统发育学的入门，我们推荐 Felsenstein [7] 以及 Semple 和 Steele [18] 的著作。此处以 n = 4 为例，说明此类数据如何产生。考虑四个基因组的序列比对：
\text{人类:} ACAAATGTCATTAGCGAT\dots
$ \text{小鼠:} ACGTTGTCAAATAGAGAT\dots $$\text{大鼠:} ACGTAAGTCATTACACAT\dots $[text{鸡:} GCACAGTCAGTAGAGCT\dots \]
从这类序列数据中，计算生物学家可推断任意两个分类单元之间的距离。有多种算法可执行此推断，它们皆基于进化的统计模型。就我们的讨论而言，可将任意两个字符串之间的距离视为汉明距离（即它们相异字符的比例）的精细化版本。在我们的（人类、小鼠、大鼠、鸡）示例中，推断出的距离矩阵可能为如下对称 4\times 4 矩阵：
H M R C
$H 0 1.1 1.0 1.4$$ 1.1 0 0.3 1.3$[$1.0 0.3 0 1.2]C.4 1.3 1.2 0]$
系统发育学的问题在于构建一棵树，使其边长能代表该距离矩阵，前提是这样的树存在。在我们的示例中，确实存在这样一棵树，如图3所示，其中每条边旁的数字为其长度。两个叶片之间的距离，是连接这两个叶片的唯一路径上各边长之和。例如，树中“人类”与“小鼠”之间的距离为 $0.6 + 0.3 + 0.2 = 1.1$，这正是 $\times 4$矩阵中的对应项。
一般而言，考虑 n 个分类单元，分类单元 $$与分类单元 ($)$间的距离为一个正实数 (d$ij})，种生物统计方法确定。因此，我们所得到的是一个实对称 \(n\$mes n\) 矩
D = \left( \begin{array}{ccccc}0 & d_{12} & d_{13} & \dots & d_{1n}\\ d_{12} & 0 & d_{23} & \dots & d_{2n}\\ d_{13} & d_{23} & 0 & \dots & d_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{1n} & d_{2n} & d_{3n} & \dots & 0 \\ \end{array} \right).
我们可假定 D 为一度量，即对所有 $, j, k$三角形不等式 (${ik} \leq d_{ij} + d_{jk})$成立。此性质可通过矩阵乘法表述如下：
事实 5. 矩阵 D 表示一个度量，当且仅当 $ \odot D = D$
若存在一棵具有 n 片叶子的树 $$其叶子标记为 ( 2, \ldots, n\) (T$ $条边均被赋予正长度，使得任意两片叶子 (i$与$(j) 之间$离恰为 (d_{$})，则我们义在 \(\{1,, \ldots, n}) 上的度量$(D) 为树度量。$量在生物学中天然出现，因为它们模拟了演化过程中产生 (n) 个$群的历$迹。
大多数度量 D 并非树度量。若我们从生物数据中获得一个度量 $$则可合理假设存在一个与 ($)$近的树度量 (D$)。$学家运用多种算法（例如“邻接法”）从给定数据 (D$构$这样一棵邻近的树 (T)$文$述树度量的热带刻画。
令 X = (X_{ij}) 为一个对称矩阵，其对角线元素为零，而 $binom{n}{2}$个非对角元素为未知量。对于每个四元组 ($i, j, k, l} \subset {1, 2, \ldots, n})$们考虑以下二阶热带多项式：
p_{ijkl} = X_{ij} \odot X_{kl} \oplus X_{ik} \odot X_{jl} \oplus X_{il} \odot X_{jk}. \quad (4)
该多项式称为热带 Grassmann–Plücker 关系，它实质上是 2 \times 4 矩阵中 $ \times 2$子行列式所满足的经典 Grassmann–Plücker 关系的热带版本 [14, 定理 3.20]。
它在空间 \mathbb{R}^{\binom{n}{2}} 中定义了一个超曲面 $mathcal{H}(p_{ijkl})$热带 Grassmann 簇即是这 ($inom{n}{4})$超曲面的交集，记作
G_{r2,n} = \bigcap_{1 \leq i < j < k < l \leq n} \mathcal{H}(p_{ijkl}).
这一 \mathbb{R}^{\binom{n}{2}} 的子集具有多面体扇的结构，即它由有限多个凸多面体锥拼接而成，且这些锥体之间衔接自然。
事实 6. 定义在 \{1, 2, \ldots, n\} 上的度量 $$是树度量，当且仅当其负值 ($= -D)$于热带 Grassmann 簇 (G$r2,n}) $
这一陈述等价于系统发育学中的四点条件：D 为树度量当且仅当对所有 $ \leq i < j < k < l \leq n$三个数 (${ij} + D_{kl})$(D_{ik} + D_{jl}) $(D$il} + D_{jk}) 中$大值至少出现两次。令 (X $-D)，则意$三个数 (X_{} + X_{kl}\)、\(X$ik$+ X_{jl}\) 与 \(${il}$ X_{jk}\) 中的最小值$出现两次，亦即 \(X \in $athcal{H}(p_{ijkl})\)。热带 Gra$mann 簇 \(G_{r2,n) 亦被称为系统发$的空间 [3, 14, 20]。这一优美空间的组合结构已得到充分研究与深刻理解。
通常，与其测量不同分类群之间的成对距离，从统计角度看，更精确的做法是考虑所有 r 元组分类群，并联合度量每个 $$元组内的相异性。例如，在上述树中，三元组 {人类, 小鼠, 大鼠} 的联合相异性为 1.2，即包含小鼠、人类和大鼠的子树中所有边长之和。Lior Pachter 与第一作者在 [15] 中证明，只要 ($\geq 2r - 1)可从所有 \(r $的数据中重建出这棵树。
在2004年的原始讲义中，我们曾提出一个研究问题：刻画 G_{r2,n} 到 $mathbb{R}^{\binom{n}{r}}$的给定嵌入之像，尤其针对 ($= 3)情形。此后，Christiano Bocci 与 Filip Cools [4] 已解决了 \(r 3) $题，并在更高 (r$的$上取得了重要进展。尽管
仍有工作待完成，我们现在建议探讨以下一个较少被研究的问题，它取自 [14, 第3章] 的结尾。
研究问题 我们称一个度量 D 具有系统发育秩 $leq k$若存在 ($)$树度量 (D$(1)}, D^{(2)}, \ldots, D^{(k)})，$
D_{i j} = \max \bigl( D_{i j}^{(1)}, D_{i j}^{(2)}, \ldots, D_{i j}^{(k)} \bigr) \qquad \text{对所有 } 1 \leq i, j \leq n.
等价地，矩阵 X = - D 是矩阵 $^{(i)} = - D^{(i)}$的和：
X = X^{(1)} \oplus X^{(2)} \oplus \dots \oplus X^{(k)}.
系统发育秩这一概念旨在为混合了 k 种不同进化历史的距离数据建模。系统发育秩 $leq k$的度量集合构成 ($athbb{R}^{\binom{n}{2}})的一个多面体扇。请计算此扇，并探究其组合、几何与拓扑性质，特别是当 \(k 2) $
热带线性空间
为推广直线的概念，我们定义热带超平面为 \mathbb{R}^{n} 中形如 $mathcal{H}(\ell)$的子集，其中 (ll\) (n$ $知数的热带线性函数：
\ell(x) = a_{1} \odot x_{1} \oplus a_{2} \odot x_{2} \oplus \dots \oplus a_{n} \odot x_{n}.
此处 a_{1}, \ldots, a_{n} 为任意实常数。在热带数学中，解线性方程意味着计算有限多个超平面 $mathcal{H}(\ell)$的交集。人们很容易想将热带线性空间简单地定义为热带超平面的交集。然而，这并非一个好的定义，因为此类任意交集可能具有混合维数，且其行为方式不同于经典几何中的线性空间。
更好的热带线性空间概念源于只允许那些“足够完备”的超平面交集，其含义我们稍后会说明。我们给出的定义直接推广了此前关于系统发育学的讨论。其核心思想是：系统发育树即热带射影空间中的直线，其 Plücker 坐标 X_{i j} 为两两距离 $_{i j}$的负值。
考虑 \binom{n}{d} 维空间 $mathbb{R}^{\binom{n}{d}}$其坐标 ({i_{1} \dots i_{d}}\) ($,2,\ldots ,n}) \(d\$元 ({i$1},\ldots ,i_{d}}) 为索$令 (S) $${1,2,\ldots ,n}) 的任意 $(d-2)) 元子集，并\(i, j,, l) 为 ({$\ld$s ,n} \setminus S) 中任意四个互异$。相应的三项 Grassmann-Plücker 关系 (p_{S,i $k l}) 是如下二次热带多$：
p_{S,i j k l} = X_{S i j} \odot X_{S k l} \oplus X_{S i k} \odot X_{S j l} \oplus X_{S i l} \odot X_{S j k}. \quad (5)
我们定义 Dressian 为如下交集
D_{r d,n} = \bigcap_{S,i,j,k,l} \mathcal{H}(p_{S,i j k l}) \subset \mathbb{R}^{\binom{n}{d}},
其中交集遍历所有满足上述条件的 $S$、$$($)$(k)、$l)。术$Dressian”源于代数学家安德烈亚斯·德雷斯（Andreas Dress），他目前从事计算生物学研究。有关其工作的相关参考文献及更多细节，请参阅文献[11]。
注意到在特殊情况 d = 2 下，我们有 $ = \emptyset$此时多项式(5)即为(4)中的四点条件。在此特殊情形中，($r_{2,n} = G r_{2,n})$正是前文讨论过的系统发育树空间。
现在，我们在 Dressian D_{r_{d,n}} 中取定一个坐标为 $X_{i_{1} \dots i_{d}})$的任意点 ($)$于 ($, 2, \dots, n}) 意 \((d))-子$({j$0}, j_{1}, \dots, j_{d}})，考虑$关于变量 (x_{1$ \dots, x_{n}) 的热带$形式：
\ell_{j_{0} j_{1} \dots j_{d}}^{X} = \bigoplus_{r=0}^{d} X_{j_{0} \dots \widehat{j_{r}} \dots j_{d}} \odot x_{r}, \quad (6)
其中符号 \widehat{\cdot} 表示省略 $_{r}$与点 ($)$关联的热带线性空间定义为如下集合：
L_{X} = \bigcap \mathcal{H}(\ell_{j_{0} j_{1} \dots j_{d}}^{X}) \subset \mathbb{R}^{n}.
这里交集遍历 \{1, 2, \dots, n\} 的所有 $d+1)$子集 (j_{0}, j_{1}, \dots, j_{d}\}\)
热带线性空间正是形如 L_{X} 的集合，其中 $$为 (${r_{d,n}} \subset \mathbb{R}^{\binom{n}{d}})$的任意一点。这些对象在文献[21]和[11]中有详细研究。本节第一段所提及的“充分完备性”，意指我们需要利用上述 (L$X}) $式来求解线性方程，以确保超平面的交集确实构成一个线性空间。此处给出的线性空间定义比文献[6, 17, 20]中使用的定义更具包容性——在那些文献中，要求 (L_$}) 必$源于带有适当赋值的域上的经典代数几何。
例如，\mathbb{R}^{n} 中的一个三维热带线性子空间（亦即热带射影 $n-1)$空间中的二维平面），是 ($inom{n}{4})$热带超平面的交集，其中每个定义线性形式均含四项：
\ell_{j_{0} j_{1} j_{2} j_{3}}^{X} = X_{j_{0} j_{1} j_{2}} \odot x_{j_{3}} \oplus X_{j_{0} j_{1} j_{3}} \odot x_{j_{2}} \oplus X_{j_{0} j_{2} j_{3}} \odot x_{j_{1}} \oplus X_{j_{1} j_{2} j_{3}} \odot x_{j_{0}}.
值得注意的是，即便在 X 的每个坐标均为 $$乘法单位元）或 ($nfty)$法单位元）这一非常特殊的情形下，所得结构仍十分有趣。此时，(L$X}) $个多面体扇，称为拟阵的伯格曼扇[1]。
热带线性空间具备许多普通线性空间的性质。首先，它们是具有正确维数的纯多面体复形：
事实 7. 热带线性空间 L_{X} 的每个极大胞腔都是 $$维的。
每个热带线性空间 L_{X} 都唯一地决定了其热带Plücker坐标向量 $$这种唯一性仅差一个公共标量的热带乘法（即经典加法）。若 () (L$\prime}) $为维数 (d$和$(d^{\prime}) 的热$性空间，且满足 (d +$^{\prime}\geq n)，则 $) 与 (${\p$me}) 必然相交。$来说，两个热带线性空间的交集并不一定是热带线性空间，但几乎总是如此。具体而言，若 (L) 和$(L^$pri$}) 是维数分别为 $d) 和 (d^{$im$) 的热带线性空间，且$(d + d^{\prime}\geq n)，而 (v) 是一$般小向量， (L\cap (L^$prime} + v)) 就是一个维数为 (d $d^{\pri$} - n) 的热带线性空间。依照文献[]，我们可以合理地定义 \(L\) 和 \(L^{$rime} $定交：取 (L\cap $^{\pri$} + v)) 在 (v) 趋于零时的极限，$限是一个维 (d + d^{\prime} n\) 的热带线性空间。
一个 d 维热带线性空间并不总能表示为 $ - d$个热带超平面的交。从定义可知，($inom{n}{d+1})超平面总是足够的。在2004年的原始讲义中，我们曾提出这样的问题：在 \(n $间中，要刻画任意一个 (d$维$线性空间，最少需要多少个热带超平面？(n)$超$是否总是足够？这些问题已由Tristram Bogart在[2, Theorem 2.10]中给出解答，而Josephine Yu和Debbie Yuster在[22]中提供了更精细的组合分析。本文不再提出新的研究问题，而是以一个问题作结。
是否存在关于热带几何的教科书？截至2009年6月，尽管其基本定义具有初等性，但似乎仍缺乏热带几何的入门教材。
目前唯一已出版的热带代数几何专著是卷[10]，该书基于2004年由Ilia Itenberg、Grigory Mikhalkin和Eugenii Shustin在Oberwolfach举办的研讨会。该书着重探讨了热带几何与拓扑及实代数几何的联系。此外，多篇综述文章从不同角度提供了入门指引。除[17]外，我们特别推荐Andreas Gathmann[9]和Eric Katz[12]的阐述，这些内容主要面向具备代数几何背景的读者。Grigory Mikhalkin目前正在为Clay数学研究所丛书撰写一部热带几何研究专著，而Diane Maclagan与第二作者也已启动名为《热带几何导论》的书籍项目，其初稿可从作者主页获取。2009年秋季，伯克利数学科学研究所（MSRI）将举办一个关于热带几何的特别学期。
致谢。Speyer在此工作中得到Clay数学研究所研究奖学金的资助，Sturmfels则获得美国国家科学基金会（DMS-0456960、DMS-0757236）的资助。
参考文献
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