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# 文章
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# 热带数学
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大卫·斯皮尔 麻省理工学院 剑桥，马萨诸塞州 02139 speyer@math.mit.edu
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伯恩德·斯特姆费尔斯 加州大学伯克利分校 伯克利，加利福尼亚州 94720 bernd@math.berkeley.edu
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本文基于伯恩德·斯特姆费尔斯于2004年7月22日在犹他州帕克城所作的克莱数学高级学者讲座。该讲座的主题是数学中的热带方法。彼时，这一方法尚处萌芽阶段，但此后已发展成熟，如今已成为几何组合学与代数几何中不可或缺的一部分。其应用更延伸至数学物理、数论、辛几何、计算生物学等诸多领域。我们将对这一学科作基础性介绍，内容涵盖算术、多项式、曲线、系统发育学及线性空间。每一章节末尾均附有进一步研究的建议，所提问题尤其适合本科生探讨。文末参考文献亦列出大量该领域的延伸阅读资料。
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“热带”这一形容词由法国数学家首创，其中包括让-埃里克·品[16]，旨在纪念他们的巴西同事伊姆雷·西蒙[19]——西蒙可谓“极小-加法代数”领域的先驱之一。“热带”一词本身并无深奥含义，它仅仅代表了法国人对巴西的浪漫印象。
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### 算术
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我们研究的基本对象是热带半环 $(\mathbb{R}\cup \{\infty \} ,\oplus ,\odot)$。作为集合，它由实数集 $\mathbb{R}$ 外加一个代表无穷大的元素 $\infty$ 构成。然而，我们重新定义了实数加法与乘法这两种基本算术运算，具体如下：
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$x\oplus y\coloneqq \min (x,y)\qquad \text{和}\qquad x\odot y\coloneqq x + y$。
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换言之，两数的热带和取其最小值，而两数的热带积则取其和。以下举例说明如何在这一奇特的数系中进行运算：3与7的热带和为3，热带积则为10。我们将其记作：
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$3\oplus 7 = 3\qquad \text{和}\qquad 3\odot 7 = 10.$
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许多熟悉的算术公理在热带数学中依然成立。例如，加法与乘法均满足交换律：
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$x\oplus y = y\oplus x\qquad \text{和}\qquad x\odot y = y\odot x.$
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分配律亦适用于热带乘法对热带加法的运算：只要遵循通常的运算顺序——先完成热带积运算，再进行热带和运算——则右侧无需括号。以下用数值示例说明：
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$x\odot (y\oplus z) = x\odot y\oplus x\odot z,$
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$3\odot (7\oplus 11) = 3\odot 7 = 10,$
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$3\odot 7\oplus 3\odot 11 = 10\oplus 14 = 10.$
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两种算术运算均存在单位元。无穷大是加法的单位元，零则是乘法的单位元：
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$x\oplus \infty = x\qquad \text{和}\qquad x\odot 0 = x.$
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小学生往往更偏爱热带算术，因为其乘法表更易记忆，甚至连长除法也变得简单。以下是热带加法表与热带乘法表：
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| $\oplus$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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| -------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
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| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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| 2 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
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| 3 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
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| 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
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| 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
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| 6 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6 |
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| 7 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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| $\odot$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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| ------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
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| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
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| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
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| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
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| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
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注意到对于所有 $x, y \in \mathbb{R}$，下列等式在经典算术中均成立，由此可轻松验证上述三个恒等式：
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$3 \cdot \min \{x, y\} = \min \{3x, 2x + y, x + 2y, 3y\} = \min \{3x, 3y\} .$
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研究问题 热带半环可推广至高维情形：$(\mathbb{R}^{n}$ 中的凸多面体集合，若取 $\odot$ 为“闵可夫斯基和”、$\oplus$ 为“并集的凸包”，便可构成一个半环。其中，所有具有固定回收锥 $C$ 的多面体构成一个自然的子代数。当 $n = 1$ 且 $C=\mathbb{R}_{\geq 0}$ 时，此结构即为热带半环。我们的目标是在这类半环上建立线性代数与代数几何理论，并开发高效算法软件，以处理 $n \geq 2$ 时多面体的算术运算。
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## 多项式
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令 $x_{1}, \ldots, x_{n}$ 为表示热带半环 $(\mathbb{R} \cup \{\infty\}, \oplus, \odot)$ 中元素的变量。单项式是这些变量的任意乘积（允许重复）。借助交换律与结合律，我们可对乘积进行排序，并沿用通常的指数记法书写单项式——仅需注意，在上下文中 $x_{1}^{2}$ 意指 $x_{1} \odot x_{1}$，而非通常的乘法 $x_{1} \cdot x_{1}$。每个单项式对应一个从 $\mathbb{R}^{n}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数。若以经典算术方式求值，该函数实为线性函数：
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$x_{2} \odot x_{1} \odot x_{3} \odot x_{1} \odot x_{4} \odot x_{2} \odot x_{3} \odot x_{2} = x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{2} x_{4},$
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$x_{2} + x_{1} + x_{3} + x_{1} + x_{4} + x_{2} + x_{3} + x_{2} = 2x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} + x_{4}.$
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尽管之前的例子都采用了正指数，但这一限制并非必需，因此我们允许指数为负整数，从而使得所有具有整数系数的线性函数都能以此形式表示。
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事实1. 热带单项式即指具有整数系数的线性函数。
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热带多项式是热带单项式的有限线性组合：
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$p(x_{1}, \ldots , x_{n}) = a \odot x_{1}^{i_{1}} x_{2}^{i_{2}} \cdots x_{n}^{i_{n}} \oplus b \odot x_{1}^{j_{1}} x_{2}^{j_{2}} \cdots x_{n}^{j_{n}} \oplus \cdots$
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其中系数 $a, b, \ldots$ 为实数，指数 $i_{1}, j_{1}, \ldots$ 为整数。每个热带多项式对应一个函数 $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$。若用经典算术方式求值，所得结果实为一组有限线性函数的最小值，亦即该函数
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$p(x_{1}, \ldots , x_{n}) = \min \left(a + i_{1} x_{1} + \cdots + i_{n} x_{n},\; b + j_{1} x_{1} + \cdots + j_{n} x_{n},\; \ldots\right).$
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$p: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ 具有以下三个重要性质：
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- $p$ 是连续的；
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- $p$ 是分段线性的，且分段数目有限；
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- $p$ 是凹函数，即对所有 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$，满足 $p\left(\frac{\mathbf{x} + \mathbf{y}}{2}\right) \geq \frac{1}{2} \bigl(p(\mathbf{x}) + p(\mathbf{y})\bigr)$。
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已知任何满足这三条性质的函数，皆可表示为有限个线性函数的最小值。由此可得结论：
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事实 2. 在 $n$ 个变量 $x_{1}, \ldots, x_{n}$ 上的热带多项式，恰好就是定义在 $\mathbb{R}^{n}$ 上、具有整数系数的分段线性凹函数。
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作为第一个例子，考虑单变量 $x$ 的一般三次多项式。为了绘制这个函数的图像，我们在 $(x, y)$ 平面上画出四条直线：$y = 3x + a$，$y = 2x + b$，$y = x + c$，以及水平线 $y = d$。$p(x)$ 的值是使得点 $(x, y)$ 位于这四条直线之一上的最小 $y$ 值；也就是说，$p(x)$ 的图像就是这些直线的下包络。如果满足条件
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$p(x) = a \odot x^{3} \oplus b \odot x^{2} \oplus c \odot x \oplus d, \quad (1)$
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$b - a \leq c - b \leq d - c, \quad (2)$
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那么所有四条直线实际上都会对图像有所贡献。这三个 $x$ 的值是 $p(x)$ 不再保持线性的断点，并且该三次多项式可以相应地分解为三个线性因子：
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$p(x) = a \odot (x \oplus (b - a)) \odot (x \oplus (c - b)) \odot (x \oplus (d - c)). \quad (3)$
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三次多项式 $p(x)$ 的图像及其根见图1。
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每个热带多项式函数都可以唯一地表示为热带线性函数的热带乘积（换言之，代数基本定理在热带意义下依然成立）。在这一陈述中，我们必须强调“函数”这个词。不同的多项式可以表示同一个函数。我们并非声称每个多项式都能分解为线性多项式的乘积，而是主张：每个多项式都可以被一个等价的、表示同一函数的多项式所替代，并且该等价多项式可以分解为线性因子。例如，以下多项式表示同一个函数：
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$x^{2} \oplus 17 \odot x \oplus 2 = x^{2} \oplus 1 \odot x \oplus 2 = (x \oplus 1)^{2}.$
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当变量增加到两个或更多时，多项式的唯一分解性不再成立。此时的情况更为有趣。理解它便是我们接下来的课题。
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研究问题：将多元热带多项式分解为不可约热带多项式的结果并不唯一。这里有一个简单的例子：
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$(0 \odot x \oplus 0) \odot (0 \odot y \oplus 0) \odot (0 \odot x \odot y \oplus 0)$
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$\qquad = (0 \odot x \odot y \oplus 0 \odot x \oplus 0) \odot (0 \odot x \odot y \oplus 0 \odot y \oplus 0).$
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请开发一种算法（附实现与复杂度分析），用于计算给定热带多项式的所有不可约分解。高和劳德[8]已证明，热带分解对于经典意义上的多元多项式因式分解问题具有重要意义。
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### 曲线
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一个热带多项式函数 $p: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ 定义为有限个线性函数的最小值。我们将超曲面 $\mathcal{H}(p)$ 定义为所有满足以下条件的点 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 的集合：在该点处，该最小值至少由两个线性函数同时取得。等价地说，点 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 属于 $\mathcal{H}(p)$ 当且仅当 $p$ 在 $\mathbf{x}$ 处不是线性的。例如，若 $n = 1$ 且 \$\$为满足假设(2)的(1)式中的三次多项式，则
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$\mathcal{H}(p) = \{b - a, c - b, d - c\}.$
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因此，超曲面 $\mathcal{H}(p)$ 就是多项式 \$(x)\$的“根”的集合。
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在本节中，我们考虑两个变量的多项式情形：
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$p(x, y) = \bigoplus_{(i,j)} c_{ij} \odot x^{i} \odot y^{j}.$
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事实 3. 对于二元多项式 $p$，其对应的热带曲线 $\mathcal{H}(p)$是嵌入平面 $athbb{R}^{2}$的一个有限图。该图既包含有界边，也包含无界边，所有边的斜率均为有理数，并且图在每一个节点处均满足如下所述的零张力条件：
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考虑图的任意节点 $(x,y)$，不妨将其取为原点 $(0,0)$那么与该节点相邻的边均位于具有有理斜率的直线上。在从原点出发的每一条这样的射线上，取最小的非零格点向量。在 $(x,y)$的零张力即意味着这些向量的和为零。
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我们的第一个例子是平面上的一条直线。它由以下多项式定义：
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$p(x,y) = a \odot x \oplus b \odot y \oplus c \qquad \mathrm{其中} \ a, b, c \in \mathbb{R}.$
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曲线 $\mathcal{H}(p)$ 由所有使得函数
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$p: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}, \qquad (x,y) \mapsto \min \bigl( a + x, \, b + y, \, c \bigr)$
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非线性的点 $(x,y)$ 构成。它由从点 \$x,y) = (c - a, c - b)\$出发、分别指向正北、正东和西南方向的三个半射线组成。零张力条件体现为 $(0,0) + (0,1) + (-1,-1) = (0,0)$
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下面是在平面上绘制热带曲线 $\mathcal{H}(p)$ 的一般方法。考虑出现在多项式 \$\$中的任意一项 \($amma \odot x^{i} \odot y^{j}\)$们用 $\thbb{R}^{3}$ 点 \((\$mma, i, j)\) 来$该项，并计算这些点在 \(\ma$bb{R}^{3}\) 中的$。然后，将该凸包的下包络通过映射 \(\mat$b{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}\)，即 \$\gamma, i, j) \mapsto (i, j)\)，投影到平$。所得图像是一个平面凸多边形，并带有一个划分 \(\Delt$)，将其细分为$的多边形。热带曲线 \(\mathc${H}(p)\)（实际上是它的$形式”）就是这个细分 \(\Delta\$的对偶图。回忆$，平面图的对偶图是另一个平面图，其顶点对应于原图的各个区域，而边则表示区域之间的相邻关系。
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举一个例子，我们考虑一般二次多项式
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$p(x,y) = a \odot x^{2} \oplus b \odot xy \oplus c \odot y^{2} \oplus d \odot x \oplus e \odot y \oplus f.$
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此时，$\Delta$ 是以 \$0,0)\$\($,2)\)$ \(($0)\) $点的三角形的一个细分。格点 \((0$)\)、\$1,0)\)、\($,1$) 可被用$细分的顶点。假设 \(a, b$c, d, e, f \in \mathbb{R}\) 满足条件$
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$2b \leq a + c, \quad 2d \leq a + f, \quad 2e \leq c + f,$
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那么细分 $\Delta$ 由四个三角形、三条内部边和六条边界边构成。曲线 \$mathcal{H}(p)\$则有四个顶点、三条有界边和六条半射线（两条向北、两条向东、两条向西南）。在图 2 中，我们用带箭头的粗线标示了二次曲线 \($athcal{H}(p)\)$负形式。它是细分 \(\$lta\) $偶图，而 \(\D$ta\) 本$以细线绘出。
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事实 4. 热带曲线的相交与插值性质与代数曲线类似。
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1.两条一般直线交于一点，一条直线与一条二次曲线交于两点，两条二次曲线交于四点，依此类推。2. 过两个一般点有唯一一条直线，过五个一般点有唯一一条二次曲线，依此类推。
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关于热带代数几何中贝祖定理的一般性讨论（见本刊封面图示），可参阅文献 [17]。
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研究问题：对三维空间中度数为 $d$ 的热带曲线的所有组合类型进行分类。此类曲线是一个有限嵌入图，其形式为
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$C = \mathcal{H}(p_{1}) \cap \mathcal{H}(p_{2}) \cap \dots \cap \mathcal{H}(p_{r}) \subset \mathbb{R}^{3},$
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其中 $p_{i}$ 为热带多项式，\$\$在四个坐标方向上各有 \($)$无界平行半射线，而 \(C$ $有其余边均为有界。
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## 系统发育学
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计算生物学中的一个重要问题，是根据涉及 $n$ 个叶片的距离数据构建系统发育树。在生物学家的术语中，叶片的标签称为分类单元。这些分类单元可能是生物体或基因，每个均以
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DNA 序列表示。关于系统发育学的入门，我们推荐 Felsenstein [7] 以及 Semple 和 Steele [18] 的著作。此处以 $n = 4$ 为例，说明此类数据如何产生。考虑四个基因组的序列比对：
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$ \text{人类:} ACAAATGTCATTAGCGAT\dots $
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$ \text{小鼠:} ACGTTGTCAAATAGAGAT\dots $\$\text{大鼠:} ACGTAAGTCATTACACAT\dots \$[$text{鸡:} GCACAGTCAGTAGAGCT\dots \]$
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从这类序列数据中，计算生物学家可推断任意两个分类单元之间的距离。有多种算法可执行此推断，它们皆基于进化的统计模型。就我们的讨论而言，可将任意两个字符串之间的距离视为汉明距离（即它们相异字符的比例）的精细化版本。在我们的（人类、小鼠、大鼠、鸡）示例中，推断出的距离矩阵可能为如下对称 $4\times 4$ 矩阵：
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$H M R C$
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$H 0 1.1 1.0 1.4$\$ 1.1 0 0.3 1.3\$[$1.0 0.3 0 1.2\]$C$.4 1.3 1.2 0\]$
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系统发育学的问题在于构建一棵树，使其边长能代表该距离矩阵，前提是这样的树存在。在我们的示例中，确实存在这样一棵树，如图3所示，其中每条边旁的数字为其长度。两个叶片之间的距离，是连接这两个叶片的唯一路径上各边长之和。例如，树中“人类”与“小鼠”之间的距离为 $0.6 + 0.3 + 0.2 = 1.1$，这正是 \$\times 4\$矩阵中的对应项。
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一般而言，考虑 $n$ 个分类单元，分类单元 \$\$与分类单元 \($)$间的距离为一个正实数 \(d$ij}\)，$种生物统计方法确定。因此，我们所得到的是一个实对称 \(n\$mes n\) 矩$
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$D = \left( \begin{array}{ccccc}0 & d_{12} & d_{13} & \dots & d_{1n}\\ d_{12} & 0 & d_{23} & \dots & d_{2n}\\ d_{13} & d_{23} & 0 & \dots & d_{3n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{1n} & d_{2n} & d_{3n} & \dots & 0 \\ \end{array} \right).$
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我们可假定 $D$ 为一度量，即对所有 \$, j, k\$三角形不等式 \(${ik} \leq d_{ij} + d_{jk}\)$成立。此性质可通过矩阵乘法表述如下：
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事实 5. 矩阵 $D$ 表示一个度量，当且仅当 \$ \odot D = D\$
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若存在一棵具有 $n$ 片叶子的树 \$\$其叶子标记为 \($ 2, \ldots, n\)$ \(T$ $条边均被赋予正长度，使得任意两片叶子 \(i\$与$(j\) 之间$离恰为 \(d_{$}\)，则我们$义在 \(\{1,$, \ldots, n\}\) 上的度量$(D\) 为树度量。$量在生物学中天然出现，因为它们模拟了演化过程中产生 \(n\) 个$群的历$迹。
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大多数度量 $D$ 并非树度量。若我们从生物数据中获得一个度量 \$\$则可合理假设存在一个与 \($)$近的树度量 \(D$\)。$学家运用多种算法（例如“邻接法”）从给定数据 \(D\$构$这样一棵邻近的树 \(T\)$文$述树度量的热带刻画。
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令 $X = (X_{ij})$ 为一个对称矩阵，其对角线元素为零，而 \$binom{n}{2}\$个非对角元素为未知量。对于每个四元组 \($i, j, k, l\} \subset \{1, 2, \ldots, n\}\)$们考虑以下二阶热带多项式：
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$p_{ijkl} = X_{ij} \odot X_{kl} \oplus X_{ik} \odot X_{jl} \oplus X_{il} \odot X_{jk}. \quad (4)$
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该多项式称为热带 Grassmann–Plücker 关系，它实质上是 $2 \times 4$ 矩阵中 \$ \times 2\$子行列式所满足的经典 Grassmann–Plücker 关系的热带版本 [14, 定理 3.20]。
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它在空间 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 中定义了一个超曲面 \$mathcal{H}(p_{ijkl})\$热带 Grassmann 簇即是这 \($inom{n}{4}\)$超曲面的交集，记作
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$G_{r2,n} = \bigcap_{1 \leq i < j < k < l \leq n} \mathcal{H}(p_{ijkl}).$
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这一 $\mathbb{R}^{\binom{n}{2}}$ 的子集具有多面体扇的结构，即它由有限多个凸多面体锥拼接而成，且这些锥体之间衔接自然。
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**事实 6.** 定义在 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 上的度量 \$\$是树度量，当且仅当其负值 \($= -D\)$于热带 Grassmann 簇 \(G$r2,n}\) $
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这一陈述等价于系统发育学中的四点条件：$D$ 为树度量当且仅当对所有 \$ \leq i < j < k < l \leq n\$三个数 \(${ij} + D_{kl}\)$(D_{ik} + D_{jl}\) $\(D$il} + D_{jk}\) 中$大值至少出现两次。令 \(X $-D\)，则意$三个数 \(X_{$} + X_{kl}\)、\(X$ik$+ X_{jl}\) 与 \(${il}$ X_{jk}\) 中的最小值$出现两次，亦即 \(X \in $athcal{H}(p_{ijkl})\)。热带 Gra$mann 簇 \(G_{r2,n$) 亦被称为系统发$的空间 [3, 14, 20]。这一优美空间的组合结构已得到充分研究与深刻理解。
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通常，与其测量不同分类群之间的成对距离，从统计角度看，更精确的做法是考虑所有 $r$ 元组分类群，并联合度量每个 \$\$元组内的相异性。例如，在上述树中，三元组 {人类, 小鼠, 大鼠} 的联合相异性为 1.2，即包含小鼠、人类和大鼠的子树中所有边长之和。Lior Pachter 与第一作者在 [15] 中证明，只要 \($\geq 2r - 1\)$可从所有 \(r$ $的数据中重建出这棵树。
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在2004年的原始讲义中，我们曾提出一个研究问题：刻画 $G_{r2,n}$ 到 \$mathbb{R}^{\binom{n}{r}}\$的给定嵌入之像，尤其针对 \($= 3\)$情形。此后，Christiano Bocci 与 Filip Cools [4] 已解决了 \(r$ 3\) $题，并在更高 \(r\$的$上取得了重要进展。尽管
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仍有工作待完成，我们现在建议探讨以下一个较少被研究的问题，它取自 [14, 第3章] 的结尾。
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研究问题 我们称一个度量 $D$ 具有系统发育秩 \$leq k\$若存在 \($)$树度量 \(D$(1)}, D^{(2)}, \ldots, D^{(k)}\)，$
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$D_{i j} = \max \bigl( D_{i j}^{(1)}, D_{i j}^{(2)}, \ldots, D_{i j}^{(k)} \bigr) \qquad \text{对所有 } 1 \leq i, j \leq n.$
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等价地，矩阵 $X = - D$ 是矩阵 \$^{(i)} = - D^{(i)}\$的和：
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$X = X^{(1)} \oplus X^{(2)} \oplus \dots \oplus X^{(k)}.$
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系统发育秩这一概念旨在为混合了 $k$ 种不同进化历史的距离数据建模。系统发育秩 \$leq k\$的度量集合构成 \($athbb{R}^{\binom{n}{2}}\)$的一个多面体扇。请计算此扇，并探究其组合、几何与拓扑性质，特别是当 \(k$ 2\) $
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## 热带线性空间
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为推广直线的概念，我们定义热带超平面为 $\mathbb{R}^{n}$ 中形如 \$mathcal{H}(\ell)\$的子集，其中 \($ll\)$ \(n$ $知数的热带线性函数：
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$\ell(x) = a_{1} \odot x_{1} \oplus a_{2} \odot x_{2} \oplus \dots \oplus a_{n} \odot x_{n}.$
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此处 $a_{1}, \ldots, a_{n}$ 为任意实常数。在热带数学中，解线性方程意味着计算有限多个超平面 \$mathcal{H}(\ell)\$的交集。人们很容易想将热带线性空间简单地定义为热带超平面的交集。然而，这并非一个好的定义，因为此类任意交集可能具有混合维数，且其行为方式不同于经典几何中的线性空间。
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更好的热带线性空间概念源于只允许那些“足够完备”的超平面交集，其含义我们稍后会说明。我们给出的定义直接推广了此前关于系统发育学的讨论。其核心思想是：系统发育树即热带射影空间中的直线，其 Plücker 坐标 $X_{i j}$ 为两两距离 \$_{i j}\$的负值。
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考虑 $\binom{n}{d}$ 维空间 \$mathbb{R}^{\binom{n}{d}}\$其坐标 \(${i_{1} \dots i_{d}}\)$ \(\$,2,\ldots ,n\}\) $\(d\$元$ \(\{i$1},\ldots ,i_{d}\}\) 为索$令 \(S\) $\${1,2,\ldots ,n\}\) 的任意 $(d-2)\) 元子集，并$\(i, j,$, l\) 为 \(\{$\ld$s ,n\} \setminus S\) 中任意四个互异$。相应的三项 Grassmann-Plücker 关系 \(p_{S,i $k l}\) 是如下二次热带多$：
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$p_{S,i j k l} = X_{S i j} \odot X_{S k l} \oplus X_{S i k} \odot X_{S j l} \oplus X_{S i l} \odot X_{S j k}. \quad (5)$
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我们定义 Dressian 为如下交集
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$D_{r d,n} = \bigcap_{S,i,j,k,l} \mathcal{H}(p_{S,i j k l}) \subset \mathbb{R}^{\binom{n}{d}},$
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其中交集遍历所有满足上述条件的 $S$、\$\$\($)$(k\)、$l\)。术$Dressian”源于代数学家安德烈亚斯·德雷斯（Andreas Dress），他目前从事计算生物学研究。有关其工作的相关参考文献及更多细节，请参阅文献[11]。
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注意到在特殊情况 $d = 2$ 下，我们有 \$ = \emptyset\$此时多项式(5)即为(4)中的四点条件。在此特殊情形中，\($r_{2,n} = G r_{2,n}\)$正是前文讨论过的系统发育树空间。
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现在，我们在 Dressian $D_{r_{d,n}}$ 中取定一个坐标为 \$X_{i_{1} \dots i_{d}})\$的任意点 \($)$于 \(\$, 2, \dots, n\}\) $意 \((d$)\)-子$\(\{j$0}, j_{1}, \dots, j_{d}\}\)，考虑$关于变量 \(x_{1$ \dots, x_{n}\) 的热带$形式：
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$\ell_{j_{0} j_{1} \dots j_{d}}^{X} = \bigoplus_{r=0}^{d} X_{j_{0} \dots \widehat{j_{r}} \dots j_{d}} \odot x_{r}, \quad (6)$
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其中符号 $\widehat{\cdot}$ 表示省略 \$_{r}\$与点 \($)$关联的热带线性空间定义为如下集合：
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$L_{X} = \bigcap \mathcal{H}(\ell_{j_{0} j_{1} \dots j_{d}}^{X}) \subset \mathbb{R}^{n}.$
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这里交集遍历 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有 \$d+1)\$子集 \($j_{0}, j_{1}, \dots, j_{d}\}\)$
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热带线性空间正是形如 $L_{X}$ 的集合，其中 \$\$为 \(${r_{d,n}} \subset \mathbb{R}^{\binom{n}{d}}\)$的任意一点。这些对象在文献[21]和[11]中有详细研究。本节第一段所提及的“充分完备性”，意指我们需要利用上述 \(L$X}\) $式来求解线性方程，以确保超平面的交集确实构成一个线性空间。此处给出的线性空间定义比文献[6, 17, 20]中使用的定义更具包容性——在那些文献中，要求 \(L_$}\) 必$源于带有适当赋值的域上的经典代数几何。
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例如，$\mathbb{R}^{n}$ 中的一个三维热带线性子空间（亦即热带射影 \$n-1)\$空间中的二维平面），是 \($inom{n}{4}\)$热带超平面的交集，其中每个定义线性形式均含四项：
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$\ell_{j_{0} j_{1} j_{2} j_{3}}^{X} = X_{j_{0} j_{1} j_{2}} \odot x_{j_{3}} \oplus X_{j_{0} j_{1} j_{3}} \odot x_{j_{2}} \oplus X_{j_{0} j_{2} j_{3}} \odot x_{j_{1}} \oplus X_{j_{1} j_{2} j_{3}} \odot x_{j_{0}}.$
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值得注意的是，即便在 $X$ 的每个坐标均为 \$\$乘法单位元）或 \($nfty\)$法单位元）这一非常特殊的情形下，所得结构仍十分有趣。此时，\(L$X}\) $个多面体扇，称为拟阵的伯格曼扇[1]。
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热带线性空间具备许多普通线性空间的性质。首先，它们是具有正确维数的纯多面体复形：
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事实 7. 热带线性空间 $L_{X}$ 的每个极大胞腔都是 \$\$维的。
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每个热带线性空间 $L_{X}$ 都唯一地决定了其热带Plücker坐标向量 \$\$这种唯一性仅差一个公共标量的热带乘法（即经典加法）。若 \($)$ \(L$\prime}\) $为维数 \(d\$和$(d^{\prime}\) 的热$性空间，且满足 \(d +$^{\prime}\geq n\)，则 \$\) 与 \(${\p$me}\) 必然相交。$来说，两个热带线性空间的交集并不一定是热带线性空间，但几乎总是如此。具体而言，若 \(L\) 和$(L^$pri$}\) 是维数分别为 $d\) 和 \(d^{\$im$\) 的热带线性空间，且$(d + d^{\prime}\geq n\)，而 \(v\) 是一$般$小向量，$ \(L\cap (L^$prime} + v)\) 就是一个维数为 \(d $d^{\pri$} - n\) 的热带线性空间。依照文献[$]，我们可以合理地定义 \(L\) 和 \(L^{$rime}$ $定交：取 \(L\cap $^{\pri$} + v)\) 在 \(v\) 趋于零时的极限，$限$是一个维$ \(d + d^{\prime} $n\) 的热带线性空间。$
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一个 $d$ 维热带线性空间并不总能表示为 \$ - d\$个热带超平面的交。从定义可知，\($inom{n}{d+1}\)$超平面总是足够的。在2004年的原始讲义中，我们曾提出这样的问题：在 \(n$ $间中，要刻画任意一个 \(d\$维$线性空间，最少需要多少个热带超平面？\(n\)$超$是否总是足够？这些问题已由Tristram Bogart在[2, Theorem 2.10]中给出解答，而Josephine Yu和Debbie Yuster在[22]中提供了更精细的组合分析。本文不再提出新的研究问题，而是以一个问题作结。
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是否存在关于热带几何的教科书？截至2009年6月，尽管其基本定义具有初等性，但似乎仍缺乏热带几何的入门教材。
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目前唯一已出版的热带代数几何专著是卷[10]，该书基于2004年由Ilia Itenberg、Grigory Mikhalkin和Eugenii Shustin在Oberwolfach举办的研讨会。该书着重探讨了热带几何与拓扑及实代数几何的联系。此外，多篇综述文章从不同角度提供了入门指引。除[17]外，我们特别推荐Andreas Gathmann[9]和Eric Katz[12]的阐述，这些内容主要面向具备代数几何背景的读者。Grigory Mikhalkin目前正在为Clay数学研究所丛书撰写一部热带几何研究专著，而Diane Maclagan与第二作者也已启动名为《热带几何导论》的书籍项目，其初稿可从作者主页获取。2009年秋季，伯克利数学科学研究所（MSRI）将举办一个关于热带几何的特别学期。
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致谢。Speyer在此工作中得到Clay数学研究所研究奖学金的资助，Sturmfels则获得美国国家科学基金会（DMS-0456960、DMS-0757236）的资助。
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### 参考文献
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1. F. Ardila 和 C. Klivans，一个拟阵的Bergman复形和系统发育树，J. Combinatorial Theory Ser. B 96 (2006) 38-49。2. T. Bogart, A. Jensen, D. Speyer, B. Sturmfels, 和 R. Thomas，计算热带变种，J. Symbolic Computation 42 (2007) 54-73。3. L. Billera, S. Holmes, 和 K. Vogtman，系统发育树空间的几何，Advances in Applied Math. 27 (2001) 733-767。4. C. Bocci 和 F. Cools，$m$-不相似映射的热带解释，预印本，arXiv:0803.2184。5. P. Butković，Max-代数：组合学的线性代数？Linear Algebra Appl. 367 (2003) 313-335。6. M. Develin, F. Santos, 和 B. Sturmfels，关于热带矩阵的秩，第213-242页在Combinatorial and Computational Geometry，Mathematical Sciences Research Institute Publication, Vol. 52, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005。7. J. Felsenstein，推断系统发育，Sinauer Associates, Sunderland, MA, 2003。8. S. Gao 和 A. Lauder，多面体和多项式的分解，Discrete and Computational Geometry 26 (2001) 89-104。9. A. Gathmann，热带代数几何，Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 108 (2006) 3-32。10. I. Itenberg, G. Mikhalkin, 和 E. Shustin，热带代数几何，Oberwolfach Seminars Series, Vol. 35, Birkhäuser, Basel, 2007。11. S. Hermann, A. Jensen, M. Joswig, 和 B. Sturmfels，如何绘制热带平面，预印本，arxiv:0808.2383。12. E. Katz，一个热带工具箱，即将出现在Expositiones Mathematicae，arXiv:math/0610878。13. G. Mikhalkin，\$mathbb{R}^2\$中的计数热带几何，J. Amer. Math. Soc. 18 (2005) 313-377。14. L. Pachter 和 B. Sturmfels，计算生物学的代数统计，Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005。15. L. Pachter 和 D. Speyer，从子树权重重建树，Appl. Math. Lett. 17 (2004) 615-621。16. J.-E. Pin，热带半环，Idempotency (Bristol, 1994), 50-69, Publ. Newton Inst., Vol. 11, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998。17. J. Richter-Gebert, B. Sturmfels, 和 T. Theobald，热带几何的初步步骤，第289-317页在Idempotent Mathematics and Mathematical Physics, Contemporary Mathematics, Vol. 377, American Mathematical Society, Providence, RI, 2005。18. C. Semple 和 M. Steel，系统发育学，Oxford University Press, Oxford, 2003。19. I. Simon，热带半环中具有多重性的可识别集合，第107-120页在Mathematical Foundations of Computer Science (Carlsbad, 1988), Lecture Notes in Computer Science, Vol. 324, Springer, Berlin, 1988。20. D. Speyer 和 B. Sturmfels，热带Grassmannian，Advances in Geometry 4 (2004) 389-411。21. D. Speyer，热带线性空间，SIAM J. Disc. Math. 22 (2008) 1527-1558。22. J. Yu 和 D. Yuster，通过电路表示热带线性空间，在Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC '07), Proceedings, Tianjin, China, 2007。
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