20260706:新增一些文章

concepts/cosine-similarity-geometry.md

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+title: "余弦相似度几何 (Cosine Similarity Geometry)"
+created: 2026-07-04
+updated: 2026-07-04
+type: concept
+tags: [geometry, embedding, vlm, similarity]
+sources: []
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+# 余弦相似度几何 (Cosine Similarity Geometry)
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+VLM 将图像和文本嵌入映射到单位球 $S^{d-1}$ 上，此时欧氏内积等价于余弦相似度。这一几何结构是 VLM 分类和语义分析的基础。
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+## 关键性质
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+- **单位球约束**：所有嵌入 $\|e\|_2 = 1$
+- **相似度 ≡ 内积**：$\langle z, u \rangle = \cos(\theta_{z,u})$
+- **语义强度**：嵌入与语义向量 $v_a$ 的内积 $\langle e, v_a \rangle$ 可解释为语义 $a$ 的强度
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+## 语义平面
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+对于一对语义 $(a, a')$，其文本嵌入 $u_a, u_{a'}$ 张成的二维子空间 $P_{a,a'} = \text{span}\{u_a, u_{a'}\}$ 称为语义平面（[[semantic-plane]]）。语义变化可在该平面内参数化。
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+## 加性语义 (Additive Semantics)
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+若查询嵌入 $e = \sum_i \alpha_i v_{a_i}$ 可分解为语义向量的线性组合，则其对各语义的强度也呈加性分解：
+$$D_a(e) = \sum_i \alpha_i D_a(v_{a_i})$$
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+该性质来自内积的双线性，是 VLM 嵌入空间区别于普通神经网络的关键特征（[[additive-semantics]]）。
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+## 参考
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+- [[vision-language-models|VLM]]
+- [[dual-encoder-vlm|双编码器 VLM]]
+- [[semantic-plane|语义平面]]
+- [[additive-semantics|加性语义]]
+- [[voronoi-decision-regions|Voronoi 决策区域]]