20260429:一些新东西

concepts/halting-problem.md

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+# 停机问题 (Halting Problem)
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+- **领域**: 计算机科学、可计算性理论
+- **证明者**: 阿兰·图灵 (Alan Turing), 1936
+- **来源**: [[godel-incompleteness-tutorial|哥德尔不完备定理教程]]
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+## 定义
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+**停机问题**：给定一个程序 P 及其输入 I，判定 P 在输入 I 上最终是否会停机（执行有限步后终止）。
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+**不可判定性定理**：不存在一个通用算法（图灵机）能够对所有可能的程序-输入对 (P, I) 正确地判定 P(I) 是否停机。
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+## 证明概要（对角线方法）
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+假设存在算法 H(P, I) 判定停机。构造程序 D(P)：
+- 调用 H(P, P)
+- 若 H 返回「停机」，则 D 进入无限循环
+- 若 H 返回「不停机」，则 D 停机
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+考虑 D(D)：无论哪种情况都导致矛盾。
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+## 与哥德尔不完备定理的联系
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+停机问题可视为[[godel-incompleteness-theorems|哥德尔不完备定理]]在计算理论中的直接对应物：
+- 两者都使用[[diagonalization-method|对角线方法]]
+- 两者都揭示形式系统/计算模型的内在限制
+- 给定形式系统 F，命题可证性的判定等价于停机问题的判定
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+## 相关不可判定问题
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+| 问题 | 证明者 |
+|------|--------|
+| 波斯特对应问题 | Post, 1946 |
+| 希尔伯特第十问题 | Matiyasevich 等, 1970 |
+| 字的群论问题 | Novikov, 1955 |
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+## 相关概念
+
+[[computability-theory]] · [[self-reference]] · [[diagonalization-method]] · [[godel-incompleteness-theorems]]