20260625:很多新内容

concepts/fisher-width.md

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+title: "Fisher Width (Fisher 宽度)"
+created: 2026-06-23
+updated: 2026-06-23
+type: concept
+tags: ["information-geometry", "complexity-measure", "high-dimensional-probability", "riemannian-geometry"]
+sources: ["[[vu-fisher-width-2026]]", "https://arxiv.org/abs/2606.18306"]
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+# Fisher Width (Fisher 宽度)
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+**Fisher width** 是 [[gaussian-width|Gaussian width]] 在[[statistical-manifold|统计流形]]上的 Fisher-几何对应物。
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+## 定义
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+设 θ₀ ∈ Θ 为参数点，G(θ₀) 为 [[fisher-information-metric|Fisher 信息矩阵]]，T ⊂ ℝᵈ 为紧集。Fisher width 定义为：
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+```
+w_G(T; θ₀) = E_{g∼N(0,I_d)} [sup_{v∈T} ⟨g, G(θ₀)^{1/2} v⟩]
+```
+
+核心操作：用 G(θ₀)^{1/2} 对方向进行 Fisher 重标度——统计上敏感的方向贡献更大的宽度权重。
+
+## 与 Gaussian Width 的关系
+
+通过 [[lifting-identity|Lifting Identity]]：
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+```
+w_G(T; θ₀) = w(G(θ₀)^{1/2} T)
+```
+
+Fisher width 恰好是 Fisher 重标度后集合的 Gaussian width。
+
+**谱比较界**：
+```
+λ_min(G)^{1/2} · w(T) ≤ w_G(T) ≤ λ_max(G)^{1/2} · w(T)
+```
+
+当 G(θ₀) = I_d 时，Fisher width 退化为经典 Gaussian width。
+
+## 关键性质
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+1. **再参数化不变性**：在平滑坐标变换下 Fisher width 不变
+2. **局部性**：依赖基点 θ₀，随参数位置在统计流形上变化
+3. **继承性**：通过 Lifting Identity 继承 Gaussian width 的所有结构性质（单调性、齐次性、凸包不变、次可加性）
+4. **浓度**：满足与 Gaussian width 类似的浓度不等式
+5. **扰动稳定性**：对局部 Fisher 度量的扰动具有 Lipschitz 连续性
+
+## 在泛化理论中的应用
+
+对 [[fisher-lipschitz|Fisher-Lipschitz]] 假设类，Fisher width 控制一致偏差：
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+```
+E[sup_θ |Ê[f_θ] − E[f_θ]|] ≲ w_G(Θ−Θ; θ₀) / √n
+```
+
+这是 Gaussian width 在学习理论中角色的 Fisher-几何对应。
+
+## 计算
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+[[empirical-fisher|Empirical Fisher]] 使得 Fisher width 可以在实践中估计，包括全经验 Fisher 估计器、低秩近似（利用 Fisher 谱快速衰减）、以及针对特定集合的特化估计。
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+## 参考
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+- [[vu-fisher-width-2026|Vu (2026) 论文]]
+- [[gaussian-width|Gaussian Width]]
+- [[statistical-manifold|Statistical Manifold]]
+- [[fisher-information-metric|Fisher Information Metric]]
+- [[lifting-identity|Lifting Identity]]
+- [[fisher-lipschitz|Fisher-Lipschitz]]
+- [[empirical-fisher|Empirical Fisher]]