20260625:很多新内容

concepts/statistical-manifold.md

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+title: "Statistical Manifold (统计流形)"
+created: 2026-06-23
+updated: 2026-06-23
+type: concept
+tags: ["information-geometry", "differential-geometry", "riemannian-geometry", "fisher-metric"]
+sources: ["Amari & Nagaoka (2000)", "Amari (2016)", "https://arxiv.org/abs/2606.18306"]
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+# Statistical Manifold (统计流形)
+
+**统计流形**是一个参数统计模型 {p_θ : θ ∈ Θ ⊂ ℝᵈ} 配备 [[fisher-information-metric|Fisher 信息度量]]构成的黎曼流形 (Θ, g_F)。
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+## 核心结构
+
+Fisher 度量在 θ 点定义为：
+
+```
+G(θ)_{ij} = E_{x∼p_θ} [∂_i log p_θ(x) · ∂_j log p_θ(x)]
+```
+
+该度量赋予参数空间局部统计可区分性的几何尺度：
+
+- **G(θ) 大的方向**：参数微小变化 → 分布显著改变
+- **G(θ) 小的方向**：参数变化对分布影响弱
+- **G(θ) ≻ 0 假设**：标准统计流形理论要求 Fisher 满秩
+
+## 关键不变量
+
+1. **KL 散度的局部展开**：D_KL(p_θ ∥ p_{θ+Δθ}) = ½ Δθᵀ G(θ) Δθ + o(∥Δθ∥²)
+2. **再参数化不变性**：平滑坐标变换下 G(θ) 按张量规律变换
+3. **自然梯度**：∇^{nat} = G⁻¹ ∇（Fisher 几何下的最陡方向）
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+## 与信息几何的关系
+
+[[information-geometry|信息几何]] (Amari, 2016) 进一步在统计流形上引入：
+- 对偶仿射连接 (∇, ∇*)
+- 指数/混合平坦性对偶
+- 散度几何与投影定理
+
+## 在 Fisher Width 中的角色
+
+[[fisher-width|Fisher Width]] 的核心操作是**局部 Fisher 重标度**：
+```
+v ↦ G(θ)^{1/2} v
+```
+它将欧几里得集合 T 变形为 Fisher 几何中的"有效形状" G(θ)^{1/2} T，使其宽度对统计曲率敏感。
+
+## 参考
+
+- [[information-geometry|Information Geometry]]
+- [[fisher-information-metric|Fisher Information Metric]]
+- [[fisher-width|Fisher Width]]
+- [[gaussian-width|Gaussian Width]]