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concepts/neuroalgebraic-geometry.md

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+title: "神经代数几何 (Neuroalgebraic Geometry)"
+created: 2026-06-10
+updated: 2026-06-10
+type: concept
+tags: ["algebraic-geometry", "neural-networks", "machine-learning-theory"]
+sources: ["[[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity]]"]
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+# 神经代数几何 (Neuroalgebraic Geometry)
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+**Neuroalgebraic Geometry** 是用代数几何工具研究神经网络[[neuromanifold|神经流形]]的交叉领域（[MSM+25] 综述）。
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+## 研究纲领
+
+将机器学习的对象和概念翻译为代数几何不变量：
+
+| ML 概念 | 代数几何对应 |
+|---------|------------|
+| 网络架构 | 参数化映射 Phi: W -> M_d |
+| 函数空间 | 神经流形 M_d |
+| 训练 | M_d 上的优化问题 |
+| 过参数化 | 纤维维度 > 0 |
+| 对称性 | 群作用 |
+| 可识别性 | 纤维结构 |
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+## 已知结果
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+- **多项式激活**：已较好理解——神经流形是代数簇或半代数空间
+- **ReLU 激活**：几乎未知——是当前研究前沿
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+## 核心问题
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+1. **半代数性**：神经流形在什么意义下是半代数的？
+2. **商结构**：M_d 是权重空间 R^M / E_Phi 的商吗？（对 ReLU：**不是**）
+3. **对称性分类**：参数化映射有哪些对称性？
+4. **奇点几何**：M_d 的奇点如何影响训练？
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+## 参考
+- [[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity|ReLU Neuromanifolds]]
+- [[neuromanifold|Neuromanifold]]
+- [[semi-algebraic-set|Semi-algebraic Set]]
+- [[honest-open-subset|Honest Open Subset]]