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concepts/real-log-canonical-threshold.md

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+title: "实对数典范阈值 (Real Log Canonical Threshold, RLCT)"
+created: 2026-06-10
+updated: 2026-06-10
+type: concept
+tags: ["singular-learning-theory", "bayesian-statistics", "algebraic-geometry"]
+sources: ["[[dead-directions-geometric-singular-learning]]"]
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+# 实对数典范阈值 (RLCT, lambda)
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+**RLCT** 是 [[singular-learning-theory|Watanabe 奇异学习理论]]中主导贝叶斯自由能渐近修正的不变量：
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+```
+F_n = n · S_n + lambda · log n + (m-1) · log log n + O(1)
+```
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+- n: 样本量
+- S_n: 经验熵
+- **lambda**：实对数典范阈值
+- m：重数（multiplicity）
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+## 几何含义
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+lambda 是有理数（广中平祐定理的推论），反映奇异集在参数空间中的"尖锐程度"：
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+- lambda 小 → 奇异集尖锐 → 模型复杂度低 → 更好的泛化
+- lambda 大 → 奇异集平坦 → 模型复杂度高
+
+## 与 Dead Direction 的关系
+
+[[dead-directions-geometric-singular-learning|Shirodkar (2026)]] 的核心贡献：对于单 dead direction：
+
+```
+lambda = 1/(2k)
+```
+
+其中 k 是 [[kl-order|KL 阶]]，可从 Fisher 曲率衰减率计算——在原始坐标中，无需消解。
+
+## 传统计算方式
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+需要通过广中平祐消解（Hironaka resolution）将奇异集"吹开"——对百万参数网络不可行。Shirodkar 的贡献使 lambda 在原始坐标中可计算。
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+## 与其他不变量
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+[[watanabe-triple|Watanabe 三元组]] (lambda, m, nu) 完整刻画了奇异模型的贝叶斯渐近性质。
+
+## 参考
+- [[dead-directions-geometric-singular-learning|Dead Directions]]
+- [[singular-learning-theory|Singular Learning Theory]]
+- [[watanabe-triple|Watanabe's Triple]]
+- [[kl-order|KL Order]]