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concepts/semi-algebraic-set.md

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+title: "半代数集 (Semi-algebraic Set)"
+created: 2026-06-10
+updated: 2026-06-10
+type: concept
+tags: ["algebraic-geometry", "real-algebraic-geometry", "tarski-seidenberg"]
+sources: ["[[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity]]"]
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+# 半代数集 (Semi-algebraic Set)
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+**半代数集**是实代数几何的基本对象：由多项式等式和不等式的有限布尔组合定义的 R^n 的子集。
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+## 形式化定义
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+S in R^n 是半代数的，如果它可以表示为：
+
+```
+S = { x in R^n | P_i(x) = 0, Q_j(x) > 0 }
+```
+
+其中 P_i, Q_j 是实系数多项式，通过有限次并、交、补运算组合。
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+## 关键性质
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+- **Tarski-Seidenberg 定理**：半代数集在多项式映射的投影下封闭
+- **有限分解**：半代数集可分解为有限个同胚于开立方体的胞腔
+- **可量化消去**：一阶半代数公式等价于无量词公式
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+## 在神经代数几何中的角色
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+[[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity|Flinth et al. (2026)]] 的核心问题：
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+1. ReLU 网络的[[neuromanifold|神经流形]]是否是半代数空间？
+2. 如果是，什么意义下的半代数？
+3. [[honest-open-subset|Honest 开子集]]的半代数性
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+**主要结论**：M_d 不是权重空间的半代数商，但可能在 pro-半代数意义下有结构。
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+## 与代数簇的区别
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+| 代数簇 | 半代数集 |
+|--------|---------|
+| 仅等式 | 等式 + 不等式 |
+| 代数闭域上 | 实数域上 |
+| 多项式映射保持簇 | 多项式映射保持半代数性 |
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+## 参考
+- [[relu-neuromanifolds-semi-algebraicity|ReLU Neuromanifolds]]
+- [[neuroalgebraic-geometry|Neuroalgebraic Geometry]]
+- [[neuromanifold|Neuromanifold]]