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concepts/stochastic-differential-equation.md

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+title: "随机微分方程 (Stochastic Differential Equation)"
+created: 2026-06-17
+updated: 2026-06-17
+type: concept
+tags: [mathematics, stochastic-processes, theory, probability]
+sources: [raw/papers/tiwari-ticks-to-flows-2026.md]
+confidence: high
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+# 随机微分方程 (Stochastic Differential Equation)
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+SDE 是描述**受随机噪声驱动的连续时间动态系统**的数学框架，是 [[ticks-to-flows|Tiwari et al. (2026)]] 论文的核心数学工具。
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+## 标准形式
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+```
+dX_t = b(X_t) dt + σ(X_t) dW_t
+```
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+- `b(X_t) dt`：**漂移项**（drift），确定性的变化方向
+- `σ(X_t) dW_t`：**扩散项**（diffusion），随机波动
+- `W_t`：[[wiener-process|Wiener 过程]]（Brownian motion）
+
+## Itô 积分
+
+SDE 的解通过 [[ito-calculus|Itô 积分]] 定义：
+
+```
+X_t = X_0 + ∫_0^t b(X_l) dl + ∫_0^t σ(X_l) dW_l
+```
+
+在适当的条件（Lipschitz 连续 + 线性增长）下，解在概率意义下存在且唯一。
+
+## 在强化学习中的应用
+
+在 [[continuous-time-rl|连续时间 RL]] 中，SDE 用于建模：
+
+1. **环境转移**：`ds_t = (g(s_t) + h(s_t)a_t)dt + σ(s_t)dW_t`
+2. **探索动力学**：同时包含策略随机性和环境随机性
+3. **梯度时间动态**：描述参数更新如何改变状态分布
+
+## 关键性质
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+- **鞅性质**：扩散项形成一个[[martingale-clt|鞅]]，可用于 CLT 分析
+- **Markov 性**：未来仅依赖当前状态
+- **无穷小生成元**（infinitesimal generator）L^π 刻画函数沿轨道的瞬时变化
+
+## 参考
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+- [[wiener-process|维纳过程]]
+- [[ito-calculus|Itô 微积分]]
+- [[continuous-time-rl|连续时间 RL]]
+- [[exploratory-dynamics|探索动力学]]
+- [[ticks-to-flows|Ticks to Flows]]