20260420:first commit

papers/odrzywolek-eml-single-operator.md

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+title: "All elementary functions from a single binary operator"
+created: 2026-04-16
+updated: 2026-04-16
+type: paper
+tags: [paper, algorithm, concept]
+sources: [raw/papers/odrzywolek-eml-single-operator-2026.md]
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+
+# All elementary functions from a single binary operator
+
+**arXiv:** [2603.21852](https://arxiv.org/abs/2603.21852) [cs.SC]  
+**作者:** [[andrzej-odrzywolek]]  
+**发表日期:** 2026-03-23 (v1), 2026-04-04 (v2)
+
+## 核心贡献
+
+本文发现了**连续数学中的 Sheffer 算子**：单一二元算子
+
+$$\text{eml}(x,y) = \exp(x) - \ln(y)$$
+
+配合常数 $1$，足以生成科学计算器的所有初等函数。这类似于数字电路中 NAND 门对所有布尔逻辑的完备性。
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+## 关键结果
+
+### EML 完备性
+- **两按钮计算器** (1, eml) 可替代 36 按钮科学计算器
+- 生成所有算术运算 ($+,-,\times,/$)、超越函数 ($\sin,\cos,\log,\exp$)、常数 ($e,\pi,i$)
+- 例如：$\exp(x) = \text{eml}(x,1)$，$\ln(x) = \text{eml}(1,\text{eml}(\text{eml}(1,x),1))$
+
+### 二叉树语法
+每个 EML 表达式是同质节点的二叉树，语法极简：
+
+$$S \to 1 \mid \text{eml}(S,S)$$
+
+这与满二叉树和 Catalan 结构同构。
+
+### 符号回归
+- EML 树可作为可训练电路，用 Adam 等优化器进行梯度优化
+- 在树深 ≤4 时，可从数值数据中精确恢复闭式初等函数
+- 成功率：深度 2 为 100%，深度 3-4 约 25%，深度 5 <1%
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+## 约化历程
+
+| 配置 | 常量 | 一元 | 二元 | 计数 |
+|------|------|------|------|------|
+| Base-36 | 8 | 20 | 8 | 36 |
+| Wolfram | $\pi,e,i$ | $\ln$ | $+,\times,\wedge$ | 7 |
+| Calc 3 | none | $\exp,\ln,-x,1/x$ | $+$ | 6 |
+| Calc 2 | none | $\exp,\ln$ | $-$ | 4 |
+| Calc 1 | $e$ 或 $\pi$ | none | $x^y,\log_x y$ | 4 |
+| Calc 0 | none | $\exp$ | $\log_x y$ | 3 |
+| **EML** | **1** | **none** | **eml** | **2** |
+
+## 相关算子
+
+$$\begin{align}
+\text{eml}(x,y) &= \exp(x) - \ln(y) & \text{常量 } 1 \\
+\text{edl}(x,y) &= \exp(x) / \ln(y) & \text{常量 } e \\
+-\text{eml}(y,x) &= \ln(x) - \exp(y) & \text{常量 } -\infty
+\end{align}$$
+
+## 复杂度示例
+
+| 函数 | EML 编译器 | 直接搜索 |
+|------|-----------|---------|
+| $e^x$ | 3 | 3 |
+| $\ln x$ | 7 | 7 |
+| $x+y$ | 27 | 19 |
+| $x\times y$ | 41 | 17 |
+| $\pi$ | 193 | >53 |
+
+## 应用方向
+
+1. **EML 编译器** — 将公式编译为纯 EML 形式
+2. **模拟电路** — EML 作为模拟计算的基本构建块
+3. **符号回归** — 基于梯度优化的"主公式"方法
+4. **神经网络可解释性** — 训练权重可"吸附"到精确符号值
+
+## 开放问题
+
+- 是否存在不需要区分常量的二元 Sheffer 算子？
+- 是否存在同时作为神经激活函数和初等函数生成器的一元 Sheffer 算子？
+- 是否存在具有更好性质（非指数渐近、无定义域问题）的类似算子？
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+## 相关页面
+
+- [[andrzej-odrzywolek]] — 作者
+- [[eml-operator]] — 核心数学概念