20260720

concepts/information-gap.md

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+title: "Information Gap (信息缺口)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["directional-statistics", "information-geometry", "hypothesis-testing", "spherical-data"]
+sources: ["[[gid-sphere-2026|GID (You, 2026)]]"]
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+# Information Gap (信息缺口)
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+**信息缺口** I_L(P) = D_L(P) - D_{L-1}(P) 是 [[geometric-information-decomposition|GID]] 的核心诊断量——第 L 级球面特征相对于前一级**新增**的几何信息。
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+## 恒等式
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+```
+I_L(P) = KL(p^P_L ν ∥ p^P_{L-1} ν)
+```
+
+即：第 L 级缺口 = 精炼投影与粗投影之间的 KL 散度。这是 Amari 信息几何中层级 KL 分解的直接推论。
+
+## 三级解释
+
+| 缺口 | 如果大 | 如果 ≈ 0 |
+|------|--------|----------|
+| **I₁** | 有明确首选方向 → vMF 够用 | 无平均方向偏好 |
+| **I₂** | 存在轴性/反极点/腰带结构 → vMF 不足 | 二阶各向同性 |
+| **I₃** | 存在多模态或更精细角结构 | 前两级已充分捕获结构 |
+
+## 推断
+
+### 非零缺口（Theorem 7）
+当 I_L(P) > 0，Delta 法给出正态近似的置信区间：
+
+```
+a_n (Î_L - I_L) ⇒ N(0, γ_Lᵀ Σ_L γ_L)
+```
+
+### 零缺口检验（Theorem 8）
+当 I_L(P) = 0（即更高阶特征未增加信息），需要**二阶校准**：
+
+```
+2a²_n Î_L ⇒ χ²_q  （在 i.i.d. 正确设定下）
+```
+
+这是检验"是否需要更高级别"的正式统计框架——第一阶导数在零处消失，标准的 Wald 检验不可用。
+
+## 参考
+
+- [[geometric-information-decomposition|GID]]
+- [[entropy-deficit|Entropy Deficit]]
+- [[maximum-entropy-projection|Maximum Entropy Projection]]