20260720

concepts/observed-fisher-information.md

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+title: "Observed Fisher Information (观测 Fisher 信息)"
+created: 2026-07-10
+updated: 2026-07-10
+type: concept
+tags: ["information-geometry", "fisher-information", "curvature", "statistical-inference"]
+sources: ["Lehmann & Casella (2011)", "[[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]"]
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+# Observed Fisher Information (观测 Fisher 信息)
+
+在[[information-geometry|信息几何]]中，**Fisher 信息**的双重角色——定义度量张量和刻画曲率——由其一阶和二阶形式分别承担。
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+## 定义
+
+对参数模型 p(x; θ)，θ ∈ R：
+
+- **一阶 Fisher 信息**（度量结构）：I(θ) = E[(∂/∂θ log p)²]
+- **二阶 Fisher 信息**（曲率结构）：II(θ) = -E[∂²/∂θ² log p]
+
+## 在 Potts MRF 中的观测形式
+
+由于期望不可解，[[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]] 采用经验近似（大数定律）：
+
+```
+Φ_i(β) = [∂/∂β log p(x_i | η_i, β̂)]²
+Ψ_i(β) = -∂²/∂β² log p(x_i | η_i, β̂)
+```
+
+计算得到封闭形式：
+
+```
+Φ_i(β) = [U_i(x_i) - Σ_ℓ U_i(ℓ) exp(βU_i(ℓ)) / Σ_ℓ exp(βU_i(ℓ))]²
+Ψ_i(β) = Var_β[U_i(·)]  → 局部能量的条件方差
+```
+
+## 张量化计算
+
+CuBAS 通过 Kronecker 积和 Hadamard 积实现矢量化：
+- 定义向量 v⃗（能量差）和 w⃗（exp 权重）
+- Φ_i、Ψ_i 表示为 (v⃗ ⊙ w⃗) ⊗ (v⃗ ⊙ w⃗) 和加权组合
+
+## 与统计流形曲率的关系
+
+在 CuBAS 中，Φ_i 和 Ψ_i 共同构成局部[[shape-operator|shape operator]]，二者的比值刻画了标签图的**统计弯曲程度**——这是 CuBAS 区分决策边界和簇内部的核心机制。
+
+## 参考
+
+- [[cubas-curvature-adaptive-sampling-2026|CuBAS]]
+- [[potts-markov-random-field|Potts MRF]]
+- [[shape-operator|Shape Operator]]
+- [[fisher-information-metric|Fisher Information Metric]]
+- [[information-geometry|Information Geometry]]