20260625:很多新内容

concepts/kalman-filter.md

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+title: "Kalman 滤波"
+created: 2026-06-22
+updated: 2026-06-22
+type: concept
+tags: [state-estimation, filtering, linear-systems]
+sources: [nano-filter]
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+# Kalman 滤波
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+Kalman filter (KF) 是线性高斯系统下 [[bayesian-filtering|贝叶斯滤波]]的精确解析解。利用高斯分布在**线性变换下的封闭性**和**条件化下的共轭性**，KF 递归地更新均值和协方差矩阵。
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+## 基本形式
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+对于系统 $x_t = A x_{t-1} + \xi_{t-1}$，$y_t = C x_t + \zeta_t$（噪声均为零均值高斯）：
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+- 预测步：
+  - $\hat{x}_{t|t-1} = A \hat{x}_{t-1|t-1}$
+  - $P_{t|t-1} = A P_{t-1|t-1} A^\top + Q$
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+- 更新步（Kalman gain $K_t = P_{t|t-1} C^\top (C P_{t|t-1} C^\top + R)^{-1}$）：
+  - $\hat{x}_{t|t} = \hat{x}_{t|t-1} + K_t (y_t - C \hat{x}_{t|t-1})$
+  - $P_{t|t} = (I - K_t C) P_{t|t-1}$
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+## 非线性扩展
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+对非线性系统，KF 的封闭性不再成立，衍生出：
+- [[extended-kalman-filter|EKF]] — Taylor 线性化
+- [[unscented-kalman-filter|UKF]] — 无迹变换
+- [[nano-filter|NANO]] — 自然梯度优化
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+## 参考
+- [[bayesian-filtering|Bayesian Filtering]]
+- [[gaussian-filtering|Gaussian Filtering]]
+- [[nano-filter|NANO Filter]]