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Kalman 滤波	2026-06-22	2026-06-22	concept	state-estimation filtering linear-systems	nano-filter

Kalman 滤波

Kalman filter (KF) 是线性高斯系统下 bayesian-filtering的精确解析解。利用高斯分布在线性变换下的封闭性和条件化下的共轭性，KF 递归地更新均值和协方差矩阵。

基本形式

对于系统 $x_t = A x_{t-1} + \xi_{t-1}$，$y_t = C x_t + \zeta_t$（噪声均为零均值高斯）：

• 预测步：

  • \hat{x}_{t|t-1} = A \hat{x}_{t-1|t-1}
  • P_{t|t-1} = A P_{t-1|t-1} A^\top + Q

• 更新步（Kalman gain $K_t = P_{t|t-1} C^\top (C P_{t|t-1} C^\top + R)^{-1}$）：

  • \hat{x}_{t|t} = \hat{x}_{t|t-1} + K_t (y_t - C \hat{x}_{t|t-1})
  • P_{t|t} = (I - K_t C) P_{t|t-1}

非线性扩展

对非线性系统，KF 的封闭性不再成立，衍生出：

• extended-kalman-filter — Taylor 线性化
• unscented-kalman-filter — 无迹变换
• nano-filter — 自然梯度优化

参考

• bayesian-filtering
• gaussian-filtering
• nano-filter