20260625:很多新内容

concepts/lifting-identity.md

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+title: "Lifting Identity (提升恒等式)"
+created: 2026-06-23
+updated: 2026-06-23
+type: concept
+tags: ["information-geometry", "complexity-measure", "theorem", "fisher-metric"]
+sources: ["[[vu-fisher-width-2026]]", "https://arxiv.org/abs/2606.18306"]
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+
+# Lifting Identity (提升恒等式)
+
+**Lifting Identity** 是 [[vu-fisher-width-2026|Fisher Width]] 理论的中心结构定理，它建立了 Fisher width 与 [[gaussian-width|Gaussian width]] 之间的精确桥接关系。
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+## 陈述
+
+对于紧集 T ⊂ ℝᵈ 和正定 Fisher 矩阵 G ≻ 0：
+
+```
+w_G(T; θ₀) = w(G(θ₀)^{1/2} T)
+```
+
+其中 G(θ₀)^{1/2} T = {G(θ₀)^{1/2} v : v ∈ T} 是 Fisher 重标度后的集合。
+
+## 证明概要
+
+由定义：
+
+```
+w_G(T) = E_g [sup_{v∈T} ⟨g, G^{1/2} v⟩]
+       = E_g [sup_{u∈G^{1/2} T} ⟨g, u⟩]
+       = w(G^{1/2} T)
+```
+
+关键一步是将内积 ⟨g, G^{1/2} v⟩ 重写为 ⟨g, u⟩（其中 u = G^{1/2} v），从而将 Fisher 度量吸收到集合变形中。
+
+## 意义
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+Lifting Identity 是整个 Fisher width 理论的**枢纽**：
+
+1. **性质传递**：Gaussian width 的所有经典性质（单调性、齐次性、凸包不变性、次可加性）通过 Lifting Identity **直接传递**到 Fisher width
+2. **集中理论**：Gaussian width 的集中不等式可立即转化为 Fisher width 的版本
+3. **谱比较**：从 Lifting Identity 可直接推导 λ_min^{1/2}·w(T) ≤ w_G(T) ≤ λ_max^{1/2}·w(T)
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+## 几何解释
+
+Lifting Identity 揭示了 Fisher width 的几何本质：
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+```
+欧几里得集合 T  →  [Fisher 重标度]  →  Fisher-变形集合 G^{1/2} T  →  [Gaussian width]  →  Fisher width
+```
+
+同一欧几里得集合 T 在不同参数位置的 Fisher width 可能显著不同——因为不同位置处的 Fisher 度量 G(θ) 不同，产生的变形 G(θ)^{1/2} T 也就不同。
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+## 参考
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+- [[vu-fisher-width-2026|Fisher Width 论文]]
+- [[fisher-width|Fisher Width]]
+- [[gaussian-width|Gaussian Width]]
+- [[statistical-manifold|Statistical Manifold]]