Lifting Identity (提升恒等式)

Lifting Identity 是 vu-fisher-width-2026 理论的中心结构定理，它建立了 Fisher width 与 gaussian-width 之间的精确桥接关系。

陈述

对于紧集 T ⊂ ℝᵈ 和正定 Fisher 矩阵 G ≻ 0：

w_G(T; θ₀) = w(G(θ₀)^{1/2} T)

其中 G(θ₀)^{1/2} T = {G(θ₀)^{1/2} v : v ∈ T} 是 Fisher 重标度后的集合。

由定义：

w_G(T) = E_g [sup_{v∈T} ⟨g, G^{1/2} v⟩]
       = E_g [sup_{u∈G^{1/2} T} ⟨g, u⟩]
       = w(G^{1/2} T)

关键一步是将内积 ⟨g, G^{1/2} v⟩ 重写为 ⟨g, u⟩（其中 u = G^{1/2} v），从而将 Fisher 度量吸收到集合变形中。

Lifting Identity 是整个 Fisher width 理论的枢纽：

性质传递：Gaussian width 的所有经典性质（单调性、齐次性、凸包不变性、次可加性）通过 Lifting Identity 直接传递到 Fisher width
集中理论：Gaussian width 的集中不等式可立即转化为 Fisher width 的版本
谱比较：从 Lifting Identity 可直接推导 λ_min^{1/2}·w(T) ≤ w_G(T) ≤ λ_max^{1/2}·w(T)

Lifting Identity 揭示了 Fisher width 的几何本质：

欧几里得集合 T  →  [Fisher 重标度]  →  Fisher-变形集合 G^{1/2} T  →  [Gaussian width]  →  Fisher width

同一欧几里得集合 T 在不同参数位置的 Fisher width 可能显著不同——因为不同位置处的 Fisher 度量 G(θ) 不同，产生的变形 G(θ)^{1/2} T 也就不同。