20260625:很多新内容

concepts/moment-matching-filter.md

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+title: "矩匹配滤波"
+created: 2026-06-22
+updated: 2026-06-22
+type: concept
+tags: [filtering, state-estimation, moment-matching]
+sources: [nano-filter]
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+# 矩匹配滤波
+
+Moment-matching filter 是 [[gaussian-filtering|Gaussian filtering]] 中用于预测步的一类方法。核心理念：用高斯分布的前两阶矩（均值和协方差）来近似状态分布。
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+## 最优性基础
+
+根据 [[nano-filter|NANO]] 论文的 Lemma 1，最大期望高斯似然问题的驻点恰好是矩匹配：
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+$$
+\mu^* = E_{p(x)}[x], \quad \Sigma^* = E_{p(x)}[(x - \mu^*)(x - \mu^*)^\top]
+$$
+
+这意味着对预测步而言，矩匹配就是最优 Gaussian 近似。
+
+## 数值实现
+
+对于非线性函数 $f(x)$ 在 Gaussian 分布下的期望，无法解析计算，需数值方法：
+- **无迹变换**（UKF）——确定性 sigma 点采样
+- **Gauss–Hermite 积分**（GHKF）——高斯加权积分
+- **球面求积**（CKF）——球面-径向分解
+
+## 与 NANO 的关系
+
+[[nano-filter|NANO filter]] 的预测步延续矩匹配方法（等价于 UKF/CKF 的做法），但在更新步用 [[natural-gradient-descent|自然梯度下降]]替换了线性化——这是 NANO 与已有 Gaussian filter 的根本区别。
+
+## 参考
+- [[gaussian-filtering|Gaussian Filtering]]
+- [[unscented-kalman-filter|UKF]]
+- [[nano-filter|NANO Filter]]